Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 1,5 kW die met 1500 rpm draait, drijft een rondsel met 24 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 60 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 97%. Bereken het koppel T₁ op de motoras.

P = 1,5 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 24N₂ = 60η = 97%

T₁ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

Een motor van 7,5 kW met 2900 rpm drijft tandwiel A (30 tanden) aan, dat ingrijpt in tandwiel B (36 tanden). Tandwiel C (25 tanden) op dezelfde as als B drijft tandwiel D (50 tanden) op de uitgaande as aan. Elke tandwielingrijping heeft een rendement van 97%. Vind het uitgaande koppel T_out.

P = 7,5 kWn_in = 2900 rpmA = 30B = 36C = 25D = 50η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 400 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 100 kW over bij 750 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 100 kWN = 750 rpmd_o = 60 mmd_i = 36 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 130 MPa, σᵧ = 10 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 60 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 275 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Tresca (maximale schuifspanning).

σ_x = 110 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 70 mm, E = 120 GPa). Beide zijn 600 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 300 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 300 kNstaaf: Ø25 mm, E = 200 GPabuis: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 30 mm, lengte 500 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 100 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 20 mm 3 perioden later een piek van 13,7 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 20 mmx₃ = 13,7 mmn = 3

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 20 kg hangt aan veer k₃ = 100 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 10 kN/m en k₂ = 5 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 20 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₁ = 9,549 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/157,1 = 9,549 N·m

Antwoord

T₁ = 9,549 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T_out = 55,77 N·m

Uitgaand toerental

n_out = 2900·(30/36)·(25/50) = 1208 rpm

ω_out = 2π·1208/60 = 126,5 rad/s

Uitgaand vermogen en koppel

P_out = 7500·0,97² = 7057 W

T_out = P_out/ω_out = 7057/126,5 = 55,77 N·m

Antwoord

T_out = 55,77 N·m

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,5603 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(80000·613592) = 0,009778 rad

φ = 0,009778·180/π = 0,5603°

Antwoord

φ = 0,5603°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 34,49 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,273 × 10⁶·30/1,107 × 10⁶ = 34,49 MPa

Antwoord

τ_max = 34,49 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 72,11 MPa

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((130 − 10)/2)² + 40²) = 72,11 MPa

Antwoord

τ_max = 72,11 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 2,217

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 85 MPa, R = 39,05 MPa

σ₁ = 124,1 MPa, σ₂ = 45,95 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 124,1 MPa

n = 275/124,1 = 2,217

Antwoord

n = 2,217

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,1812 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·7461 = 9,935 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 300000·600/9,935 × 10⁸ = 0,1812 mm

Antwoord

δ = 0,1812 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 67,01 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 100000·706,9/500 = 141372 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 100000·141372/298451 = 47368 N

Spanning

σ₂ = 47368/706,9 = 67,01 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 67,01 MPa

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 4,922 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/4200² = 4922 N = 4,922 kN

Antwoord

P_cr = 4,922 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 4,371 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/6,25 = 672

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/672² = 4,371 MPa

Antwoord

σ_cr = 4,371 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,02007

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/3)·ln(20/13,7) = 0,1261

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1261/√(39,48 + 0,0159) = 0,02007

Antwoord

ζ = 0,02007

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 4,064 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 10 + 5 = 15 kN/m

k_eq = 15·100/(15 + 100) = 13,04 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(13043/20) = 25,54 rad/s

f_n = 25,54/(2π) = 4,064 Hz

Antwoord

f_n = 4,064 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design