Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen
n1·N1 = n2·N2
Koppel
T2 = T1·(N2/N1)·η
Vermogen
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging
totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning
τ = T·r/J
Massieve as
J = πd⁴/32
Holle as
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek
φ = TL/(GJ)
Vermogen
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
  2. Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
  3. Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
  4. Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt
C = (σx + σy)/2
Straal
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hoofdspanningen
σ1,2 = C ± R
Hoofdrichting
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Schuin vlak
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
  4. Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning
σ = F/A
Rek
ε = ΔL/L
Wet van Hooke
σ = E·ε
Verlenging
ΔL = FL/(EA)
Thermische rek
εT = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Uit de statische doorbuiging
ωn = √(g/δst)
Kritische demping
cc = 2√(km) = 2mωn
Dempingsverhouding
ζ = c/cc
Gedempte eigenfrequentie
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel
k = k1 + k2
Veren in serie
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld
N1​ = 16, m = 4 mm

Een motor van 4 kW die met 2900 rpm draait, drijft een rondsel aan met 16 tanden en een module van 4 mm. Vind de tangentiële kracht Ft op de tanden van het rondsel.

P = 4 kWn = 2900 rpmN1 = 16m = 4 mm
Ft = N
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk
Ns​ = 16ringwiel vastNp​ = 15nc​ = ?

In een planetaire tandwielset heeft het zonnewiel 16 tanden en elk planeetwiel 15 tanden. Het ringwiel wordt vastgehouden en het zonnewiel wordt aangedreven met 3000 rpm. Vind het toerental nc van de planeetdrager.

Ns = 16Np = 15ns = 3000 rpm
nc = rpm
3.Torsie van assenGemiddeld
T = 400 N·md = 50 mmL = 2 mφ = ?

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 400 N·md = 50 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsie van assenMoeilijk
d = 25 mmT0​ = 200 N·mACBa = 2,5 mb = 1 m

Een massieve as van aluminium met diameter 25 mm is aan beide uiteinden A en B ingeklemd in starre wanden. Een wringend moment van 200 N·m werkt in C, op 2,5 m van A en 1 m van B. Vind het reactiemoment TA bij wand A.

d = 25 mmT0 = 200 N·ma = 2,5 mb = 1 m
TA = N·m
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
σx​ = 50σy​ = 20MPaτxy​ = ?

In een punt is σₓ = 50 MPa en σᵧ = 20 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τxy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 80 MPa bereikt?

σx = 50 MPaσy = 20 MPaσ1 = 80 MPa
τxy = MPa
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
σx​ = −70σy​ = 30τxy​ = 50MPa

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −70 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σθ op een vlak waarvan de normaal 30° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σx = −70 MPaσy = 30 MPaτxy = 50 MPaθ = -30°
σθ = MPa
7.Axiale spanning en rekGemiddeld
P = ?12500 mm500 mmØ30Ø30δ = 0,2 mm

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van koper (diameter 30 mm, lengte 500 mm, E = 120 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,2 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
8.Axiale spanning en rekMoeilijk
Ø 40 mmKoper0,5 mØ 12 mmKoper0,5 mP = 85 kN

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σmax in de staaf.

P = 85 kNdeel 1: Ø40 mm, 0,5 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø12 mm, 0,5 m, koper (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 1 md = 20 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
PL = 2,5 md = 50 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σcr met de formule van Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Mechanische trillingenGemiddeld
k = 80 kN/mζ = 0,6m = 80 kg

Een massa van 80 kg aan een veer met een stijfheid van 80 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,6 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie fd van de vrije trilling in Hz.

m = 80 kgk = 80 kN/mζ = 0,6
fd = Hz
12.Mechanische trillingenMoeilijk
k1​ = 20k2​ = 25m = 5 kg

Een massa van 5 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 20 kN/m en k₂ = 25 kN/m. De massa blijft horizontaal. Vind de vervangende stijfheid keq van het verensysteem in kN/m.

m = 5 kgk1 = 20 kN/mk2 = 25 kN/m
keq = kN/m

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: Ft = 411,6 N

Tandwielgeometrie: de module m bepaalt de tandgrootte. Een tandwiel met N tanden heeft een steekcirkeldiameter d = m·N, twee ingrijpende tandwielen hebben dezelfde module, en hun hartafstand is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. De omtreksnelheid op de steekcirkel is v = π·d·n/60, en de tangentiële tandkracht volgt uit het koppel: Ft = 2T/d.

Koppel op het rondsel

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T = P/ω = 4000/303,7 = 13,17 N·m

Steekcirkeldiameter

d = m·N = 4·16 = 64 mm

Tangentiële kracht

Ft = 2T/d = 2·13,17/0,064 = 411,6 N

Antwoord

Ft = 411,6 N
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: nc = 774,2 rpm

Planetaire tandwielsets: de toerentallen van zonnewiel, ringwiel en planeetdrager hangen samen via de vergelijking van Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: gezien vanaf de planeetdrager is de set een gewone overbrenging met de planeetwielen als tussenwielen. Als je één deel vastzet, wordt de set een vertraging met één vaste verhouding.

Tanden van het ringwiel

Nr = Ns + 2·Np = 16 + 2·15 = 46

Vergelijking van Willis met vast ringwiel

Stel nr = 0 en los het toerental van de planeetdrager op.

(3000 − nc)/(0 − nc) = −46/16
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 3000·16/62 = 774,2 rpm

Antwoord

nc = 774,2 rpm

De planeetdrager draait in dezelfde richting als het zonnewiel.

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,9338 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(80000·613592) = 0,0163 rad
φ = 0,0163·180/π = 0,9338°

Antwoord

φ = 0,9338°
4.Torsie van assen

Antwoord: TA = 57,14 N·m

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω. Als beide uiteinden zijn ingeklemd, geeft de statica alleen TA + TB = T₀; de tweede vergelijking is de vormveranderingsvoorwaarde (gelijke wringhoek van beide delen bij de belaste doorsnede).

Evenwicht en vormveranderingsvoorwaarde

TA + TB = 200
TA·a = TB·b
TA = 200·1/3,5 = 57,14 N·m
TB = 200·2,5/3,5 = 142,9 N·m

Antwoord

TA = 57,14 N·m
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τxy = 42,43 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Benodigde straal

C = (50 + 20)/2 = 35 MPa
R = σ1 − C = 80 − 35 = 45 MPa
στxyCσ1​σ2​

Schuifspanning

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 15²) = 42,43 MPa

Antwoord

τxy = 42,43 MPa
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σθ = −88,3 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatieformule

σθ = −20 + −50·0,5 + 50·−0,866 = −88,3 MPa

Antwoord

σθ = −88,3 MPa
7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 21,21 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·706,9) = 5,895 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,2/9,431 × 10⁻⁶ = 21206 N = 21,21 kN

Antwoord

P = 21,21 kN
8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σmax = 751,6 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 67,64 MPa
σ2 = 751,6 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σmax = 751,6 MPa

Antwoord

σmax = 751,6 MPa
9.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 21,7 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·1000 = 500 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/500² = 21704 N = 21,7 kN

Antwoord

Pcr = 21,7 kN
10.Knik van kolommen

Antwoord: σcr = 100,7 MPa

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/12,5 = 140

Kritieke spanning

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

Antwoord

σcr = 100,7 MPa
11.Mechanische trillingen

Antwoord: fd = 4,026 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ωn = √(80000/80) = 31,62 rad/s
fn = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

Gedempte eigenfrequentie

fd = fn·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,6²) = 4,026 Hz

Antwoord

fd = 4,026 Hz
12.Mechanische trillingen

Antwoord: keq = 45 kN/m

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k1 + k2.

keq = 20 + 25 = 45 kN/m

Antwoord

keq = 45 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design