Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 0,75 kW die met 960 rpm draait, drijft een rondsel met 24 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 48 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 98%. Bereken het uitgaande koppel T₂ op de as van het tandwiel.

P = 0,75 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 24N₂ = 48η = 98%

T₂ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (16 tanden) op de ingaande as, die met 3000 rpm draait, tandwiel B (32 tanden) aan. Tandwiel C (15 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (30 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 3000 rpmA = 16B = 32C = 15D = 30

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van staal is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 50 mm en lengte 2 m; deel BC heeft diameter 25 mm en lengte 1,2 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 1000 N·m. Vind de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

T = 1000 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 2 md₂ = 25 mm, L₂ = 1,2 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 100 kW overbrengen bij 500 rpm. De binnendiameter moet 0,5 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 40 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 100 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −80 MPa, σᵧ = 60 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = −80 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 1500 mm en wanddikte 8 mm bevat gas met een overdruk van 2 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 60° met de as van de cilinder. Vind de normaalspanning σ_n die dwars op de lasnaad werkt.

D = 1500 mmt = 8 mmp = 2 MPaα = 60°

σ_n = MPa

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van aluminium onder de axiale belasting.

P = 35 kNd = 30 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 80 kNdeel 1: Ø40 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø12 mm, 1,5 m, staal (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Een massa van 2 kg wordt gedragen door een veer met een stijfheid van 40 kN/m en een viskeuze demper met een dempingscoëfficiënt van 230 N·s/m. Vind de dempingsverhouding ζ.

m = 2 kgk = 40 kN/mc = 230 N·s/m

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 50 kg hangt aan twee veren die achter elkaar zitten (in serie): de bovenste veer heeft k₁ = 40 kN/m en de onderste k₂ = 20 kN/m. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 50 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₂ = 14,62 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/100,5 = 7,46 N·m

Uitgaand koppel

T₂ = 7,46·48/24·0,98 = 14,62 N·m

Antwoord

T₂ = 14,62 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 750 rpm

Eerste trap

n_B = 3000·16/32 = 1500 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 1500·15/30 = 750 rpm

Antwoord

n_out = 750 rpm

totale overbrengingsverhouding = 4 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 24,75 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polaire traagheidsmomenten

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Wringhoek van elk deel

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1 × 10⁶·2000/(80000·613592) = 0,04074 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·1200/(80000·38350) = 0,3911 rad

Totale wringhoek

φ_C = 0,04074 + 0,3911 = 0,4319 rad = 24,75°

Antwoord

φ_C = 24,75°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 63,77 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 1910 N·m = 1,91 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,91 × 10⁶/(π·40·0,9375)) = 63,77 mm

d_i = 0,5·63,77 = 31,89 mm

Antwoord

d_o = 63,77 mm

Een massieve as zou d = 62,42 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = −72,23 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, −80 − 60) = −144,5°

Hoek op het element

θ_p = −72,23°

Antwoord

θ_p = −72,23°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_n = 117,2 MPa

Spanningen in de wand

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 2·750/8 = 187,5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 93,75 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σ_a) en y in omtreksrichting (σ_h). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

σ_n = 93,75·sin²60° + 187,5·cos²60° = 117,2 MPa

Antwoord

σ_n = 117,2 MPa

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 2,122 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 35·1000/706,9 = 49,51 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 49,51/70000 = 0,0007074 = 707,4 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,0007074·3000 mm = 2,122 mm

Antwoord

δ = 2,122 mm

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 6,669 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 707,4 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·1500/70000 = 1,364 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 707,4·1500/200000 = 5,305 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,669 mm

Antwoord

δ = 6,669 mm

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 22,95 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/1400² = 22948 N = 22,95 kN

Antwoord

P_cr = 22,95 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 12,34 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/12,5 = 400

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Antwoord

σ_cr = 12,34 MPa

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,4066

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritische demping

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·2) = 565,7 N·s/m

Dempingsverhouding

ζ = c/c_c = 230/565,7 = 0,4066

Antwoord

ζ = 0,4066

ζ < 1, dus het systeem is ondergedempt en trilt terwijl het uitdempt.

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 2,599 Hz

Vervangende stijfheid

Veren in serie dragen dezelfde kracht en hun doorbuigingen tellen op, dus ze combineren via hun omgekeerde: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/20 → k_eq = 40·20/(40 + 20) = 13,33 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(13333/50) = 16,33 rad/s

f_n = 16,33/(2π) = 2,599 Hz

Antwoord

f_n = 2,599 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design