Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen
n1·N1 = n2·N2
Koppel
T2 = T1·(N2/N1)·η
Vermogen
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging
totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning
τ = T·r/J
Massieve as
J = πd⁴/32
Holle as
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek
φ = TL/(GJ)
Vermogen
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
  2. Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
  3. Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
  4. Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt
C = (σx + σy)/2
Straal
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hoofdspanningen
σ1,2 = C ± R
Hoofdrichting
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Schuin vlak
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
  4. Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning
σ = F/A
Rek
ε = ΔL/L
Wet van Hooke
σ = E·ε
Verlenging
ΔL = FL/(EA)
Thermische rek
εT = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Uit de statische doorbuiging
ωn = √(g/δst)
Kritische demping
cc = 2√(km) = 2mωn
Dempingsverhouding
ζ = c/cc
Gedempte eigenfrequentie
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel
k = k1 + k2
Veren in serie
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld
N1​ = 12N2​ = 40

Een motor van 1,1 kW die met 1500 rpm draait, drijft een rondsel met 12 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 40 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 98%. Bereken het uitgaande koppel T2 op de as van het tandwiel.

P = 1,1 kWn1 = 1500 rpmN1 = 12N2 = 40η = 98%
T2 = N·m
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk
A = 20B = 72C = 36D = 80

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (20 tanden) op de ingaande as, die met 1500 rpm draait, tandwiel B (72 tanden) aan. Tandwiel C (36 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (80 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental nout.

nin = 1500 rpmA = 20B = 72C = 36D = 80
nout = rpm
3.Torsie van assenGemiddeld
T = 250 N·md = 30 mmL = 1 mφ = ?

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 250 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsie van assenMoeilijk
d = 50 mmTB​ = 250 N·mTC​ = 500 N·mABC2,5 m0,8 m

Een massieve as van messing met diameter 50 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 250 N·m werkt in B, op 2,5 m van A, en een wringend moment van 500 N·m in dezelfde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 0,8 m verder. Vind de maximale schuifspanning τmax in de as.

d = 50 mmTB = 250 N·mTC = 500 N·mAB = 2,5 mBC = 0,8 m
τmax = MPa
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
σx​ = −80σy​ = −50τxy​ = −10MPa

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −80 MPa, σᵧ = −50 MPa en τₓᵧ = −10 MPa (trek positief). Bereken de hoek θp van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σx = −80 MPaσy = −50 MPaτxy = −10 MPa
θp = °
6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
σx​τxy​oppervlak van de as

Een massieve as met diameter 60 mm draagt een axiale trekkracht van 40 kN samen met een wringend moment van 1000 N·m. Aan het oppervlak van de as, vind de grootste hoofdspanning σ1.

d = 60 mmF = 40 kNT = 1000 N·m
σ1 = MPa
7.Axiale spanning en rekGemiddeld
100 kNØ40120 GPaØ100/70300 mmδ = ?

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 70 mm, E = 120 GPa). Beide zijn 300 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 100 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 100 kNstaaf: Ø40 mm, E = 200 GPabuis: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.Axiale spanning en rekMoeilijk
Ø 25 mmAluminium0,5 mØ 16 mmMessing2 mP = 20 kN

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σmax in de staaf.

P = 20 kNdeel 1: Ø25 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø16 mm, 2 m, messing (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 5 m40 × 80 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
10.Knik van kolommenMoeilijk
PL = 4 md = 40 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σcr met de formule van Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
σcr = MPa
11.Mechanische trillingenGemiddeld
k = 200 kN/mζ = 0,4m = 8 kg

Een massa van 8 kg aan een veer met een stijfheid van 200 kN/m heeft een viskeuze demper die een dempingsverhouding van 0,4 geeft. Vind de gedempte eigenfrequentie fd van de vrije trilling in Hz.

m = 8 kgk = 200 kN/mζ = 0,4
fd = Hz
12.Mechanische trillingenMoeilijk
k1​ = 15k2​ = 25m = 100 kg

Een massa van 100 kg hangt aan twee veren naast elkaar (parallel), met stijfheden k₁ = 15 kN/m en k₂ = 25 kN/m. De massa blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren. Vind de eigenfrequentie fn van de verticale trilling in Hz.

m = 100 kgk1 = 15 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T2 = 22,88 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/157,1 = 7,003 N·m

Uitgaand koppel

T2 = 7,003·40/12·0,98 = 22,88 N·m

Antwoord

T2 = 22,88 N·m
2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: nout = 187,5 rpm

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Eerste trap

nB = 1500·20/72 = 416,7 rpm = nC

Tweede trap

nout = 416,7·36/80 = 187,5 rpm

Antwoord

nout = 187,5 rpm

totale overbrengingsverhouding = 8 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 2,252 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(80000·79522) = 0,0393 rad
φ = 0,0393·180/π = 2,252°

Antwoord

φ = 2,252°
4.Torsie van assen

Antwoord: τmax = 30,56 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Inwendige wringende momenten

Draaizin van TC positief genomen.

TBC = TC = 500 N·m
TAB = TC + TB = 500 + 250 = 750 N·m

Maximale schuifspanning

Het deel met het grootste inwendige wringend moment heeft de grootste spanning (zelfde diameter).

|T|max = 750 N·m
τmax = 16·750000/(π·50³) = 30,56 MPa

Antwoord

τmax = 30,56 MPa
5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θp = −73,15 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

σxyCσ1​σ2​

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−10, −80 − −50) = −146,3°

Hoek op het element

θp = −73,15°

Antwoord

θp = −73,15°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ1 = 31,69 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Spanningen aan het oppervlak

σ = F/A = 40000/(π·60²/4) = 40000/2827 = 14,15 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·60³) = 23,58 MPa
στxyCσ1​σ2​

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 7,074 MPa
R = √(7,074² + 23,58²) = 24,62 MPa
σ1 = C + R = 31,69 MPa
σ2 = C − R = −17,54 MPa

Antwoord

σ1 = 31,69 MPa
7.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,04098 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·4006 = 7,32 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 100000·300/7,32 × 10⁸ = 0,04098 mm

Antwoord

δ = 0,04098 mm
8.Axiale spanning en rek

Antwoord: σmax = 99,47 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 40,74 MPa
σ2 = 99,47 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σmax = 99,47 MPa

Antwoord

σmax = 99,47 MPa
9.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 24,06 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/3500² = 24063 N = 24,06 kN

Antwoord

Pcr = 24,06 kN
10.Knik van kolommen

Antwoord: σcr = 4,318 MPa

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/10 = 400

Kritieke spanning

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Antwoord

σcr = 4,318 MPa
11.Mechanische trillingen

Antwoord: fd = 23,06 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Ongedempte eigenfrequentie

ωn = √(200000/8) = 158,1 rad/s
fn = 158,1/(2π) = 25,16 Hz

Gedempte eigenfrequentie

fd = fn·√(1 − ζ²) = 25,16·√(1 − 0,4²) = 23,06 Hz

Antwoord

fd = 23,06 Hz
12.Mechanische trillingen

Antwoord: fn = 3,183 Hz

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ωn = √(k/m) in rad/s, en fn = ωn/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/cc, met kritische demping cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Vervangende stijfheid

Veren naast elkaar hebben dezelfde doorbuiging en hun krachten tellen op, dus hun stijfheden tellen gewoon op: k = k1 + k2.

keq = 15 + 25 = 40 kN/m

Eigenfrequentie

ωn = √(40000/100) = 20 rad/s
fn = 20/(2π) = 3,183 Hz

Antwoord

fn = 3,183 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design