Machineontwerp: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Ingrijpende tandwielen: n₁·N₁ = n₂·N₂
Koppel: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Vermogen: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Meertraps overbrenging: totale overbrengingsverhouding = product van de trapverhoudingen

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

Mechanische trillingen

Eigenfrequentie: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Uit de statische doorbuiging: ω_n = √(g/δ_st)
Kritische demping: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Dempingsverhouding: ζ = c/c_c
Gedempte eigenfrequentie: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritmisch decrement: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Veren parallel: k = k₁ + k₂
Veren in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Oefenopgaven

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingenGemiddeld

Een motor van 3 kW die met 1440 rpm draait, drijft een rondsel met 15 tanden aan, dat ingrijpt in een tandwiel met 30 tanden. Het tandwielpaar heeft een rendement van 96%. Bereken het koppel T₁ op de motoras.

P = 3 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 15N₂ = 30η = 96%

T₁ = N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingenMoeilijk

In een meertraps tandwieloverbrenging drijft tandwiel A (12 tanden) op de ingaande as, die met 3000 rpm draait, tandwiel B (80 tanden) aan. Tandwiel C (20 tanden) zit vast op dezelfde as als B en drijft tandwiel D (72 tanden) op de uitgaande as aan. Bereken het uitgaande toerental n_out.

n_in = 3000 rpmA = 12B = 80C = 20D = 72

n_out = rpm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van messing (buitendiameter 40 mm, binnendiameter 24 mm, lengte 1,5 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 1000 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 1000 N·md_o = 40 mmd_i = 24 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 10 kW over bij 300 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 10 kWN = 300 rpmd_o = 60 mmd_i = 36 mm

τ_max = MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −60 MPa, σᵧ = −70 MPa en τₓᵧ = 10 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = −60 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 20 MPa, σᵧ = −80 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 300 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Von Mises (vormveranderingsenergie).

σ_x = 20 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

7.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van messing (diameter 30 mm, lengte 500 mm, E = 100 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,25 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 120 MPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 60 mm, E = 100 GPa, toelaatbare spanning 70 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPabuis: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

10.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 35 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 35 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Mechanische trillingenGemiddeld

Bij een uitslingerproef van een gedempt massa-veersysteem volgt op een uitwijkingspiek van 30 mm 3 perioden later een piek van 11,7 mm. Vind de dempingsverhouding ζ.

x₀ = 30 mmx₃ = 11,7 mmn = 3

ζ =

12.Mechanische trillingenMoeilijk

Een massa van 25 kg hangt aan veer k₃ = 10 kN/m. De bovenkant van k₃ zit vast aan een starre balk die aan twee veren naast elkaar hangt, k₁ = 80 kN/m en k₂ = 80 kN/m; de balk blijft horizontaal. Verwaarloos demping en de massa’s van de veren en de balk. Vind de eigenfrequentie f_n van de verticale trilling in Hz.

m = 25 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Oplossingen

1.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: T₁ = 19,89 N·m

Tandwieloverbrengingen: ingrijpende tandwielen hebben dezelfde snelheid bij de tanden, dus n₁·N₁ = n₂·N₂: het tandwiel met minder tanden draait sneller. Tandwielen op één as draaien met hetzelfde toerental. Het vermogen wordt doorgegeven (min verliezen), dus het koppel stijgt als het toerental daalt: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, en P = T·ω met ω = 2π·n/60.

Motorkoppel

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/150,8 = 19,89 N·m

Antwoord

T₁ = 19,89 N·m

2.Tandwielen en tandwieloverbrengingen

Antwoord: n_out = 125 rpm

Eerste trap

n_B = 3000·12/80 = 450 rpm = n_C

Tweede trap

n_out = 450·20/72 = 125 rpm

Antwoord

n_out = 125 rpm

totale overbrengingsverhouding = 24 : 1

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 10,07 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Wringhoek

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·1500/(39000·218755) = 0,1758 rad

φ = 0,1758·180/π = 10,07°

Antwoord

φ = 10,07°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 8,623 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 10000/31,42 = 318,3 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·30/1,107 × 10⁶ = 8,623 MPa

Antwoord

τ_max = 8,623 MPa

5.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 11,18 MPa

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((−60 − −70)/2)² + 10²) = 11,18 MPa

Antwoord

τ_max = 11,18 MPa

6.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 2,847

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = −30 MPa, R = 58,31 MPa

σ₁ = 28,31 MPa, σ₂ = −88,31 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(28,31² − 28,31·(−88,31) + (−88,31)²) = 105,4 MPa

n = 300/105,4 = 2,847

Antwoord

n = 2,847

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

7.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 22,43 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·706,9) = 7,074 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,25/1,115 × 10⁻⁵ = 22426 N = 22,43 kN

Antwoord

P = 22,43 kN

8.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 593,8 kN

Oppervlakken

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·8482 = 9,896 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,0006, 0,0007) = 0,0006 (staal)

Grootste belasting

P_max = 0,0006·9,896 × 10⁸ = 593761 N = 593,8 kN

Antwoord

P_max = 593,8 kN

9.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 23,39 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/1500² = 23395 N = 23,39 kN

Antwoord

P_cr = 23,39 kN

10.Knik van kolommen

Antwoord: d = 113,4 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·35000 = 87500 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·87500·8000²/(π³·70000))^(1/4) = 113,4 mm

Antwoord

d = 113,4 mm

Controle: de slankheid KL/r is 282,3, dus de kolom is slank en Euler geldt.

11.Mechanische trillingen

Antwoord: ζ = 0,04989

Vrije trilling van een massa-veersysteem: de ongedempte eigenhoekfrequentie is ω_n = √(k/m) in rad/s, en f_n = ω_n/(2π) in Hz. Een viskeuze demper c geeft de dempingsverhouding ζ = c/c_c, met kritische demping c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Een ondergedempt systeem (ζ < 1) trilt met ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Parallelle veren tellen op, k = k₁ + k₂; veren in serie tellen op via hun omgekeerde, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritmisch decrement

δ = (1/3)·ln(30/11,7) = 0,3139

Dempingsverhouding

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3139/√(39,48 + 0,09851) = 0,04989

Antwoord

ζ = 0,04989

12.Mechanische trillingen

Antwoord: f_n = 3,088 Hz

Vervangende stijfheid

Alleen k₁ en k₂ staan parallel. Dat paar staat in serie met k₃, dus combineer ze via hun omgekeerde.

k₁₂ = 80 + 80 = 160 kN/m

k_eq = 160·10/(160 + 10) = 9,412 kN/m

Eigenfrequentie

ω_n = √(9412/25) = 19,4 rad/s

f_n = 19,4/(2π) = 3,088 Hz

Antwoord

f_n = 3,088 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design