Meet- en regeltechniek voor metingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Deelspanningen: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Output: V_ab = V_a − V_b
Balans: R₁/R₂ = R₃/R₄
Schuifdraadbrug: R/R_x = l/(100 − l)
Thévenin-weerstand: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
K-factor: ΔR/R = GF·ε
Uitgang van de brug: kwart V_s·GF·ε/4, half V_s·GF·ε/2, vol V_s·GF·ε
Kleine verandering, één arm: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Spanning: σ = E·ε

Methode

Behandel de brug als twee spanningsdelers over dezelfde voeding.
Stel voor evenwicht R₁/R₂ = R₃/R₄ en los op voor de onbekende weerstand.
Bepaal voor een onevenwichtige brug V_a en V_b uit de delers en trek ze af; gebruik het Thévenin-equivalent als een meter de uitgang belast.
Reken voor rekstrookjes de rek om naar ΔR/R = GF·ε en gebruik V_s·GF·ε/4, /2 of ×1 voor een kwart-, halve of volle brug.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Aliasfrequentie: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Stapgrootte: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding): ±½ LSB
Afkappende ADC-code: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits voor een resolutie r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid: kanalen × f_s × N bit/s
Gemultiplexte ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met f_s/2; een hogere frequentie verschijnt bij f_a = |f − k·f_s| met het dichtstbijzijnde veelvoud van f_s.
Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

Opampschakelingen

Inverterende versterker: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Niet-inverterende versterker: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Sommeerversterker: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ideale opamp: V₊ = V₋, I_in = 0

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Weerstanden parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Twee parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Wet van Ohm: V = I·R
Vermogen: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Brug van Wheatstone en rekstrookjesGemiddeld

Een brug heeft vier armen van 150 Ω en V_s = 5 V. De sensor R₂ neemt toe met ΔR = 0,75 Ω. Bepaal met de benadering voor kleine veranderingen de uitgang V_ab in mV.

V_s = 5 VR = 150 ΩΔR = 0,75 Ω

V_ab = mV

2.Brug van Wheatstone en rekstrookjesMoeilijk

Een brug met armen van 1000 Ω wordt bekrachtigd met 5 V en heeft twee actieve rekstrookjes in naburige armen, één op trek en één op druk (halve brug). De k-factor is 2 en de rek is 400 µε. Bepaal de uitgang V_o van de brug in mV.

V_s = 5 VGF = 2ε = 400 µε

V_o = mV

3.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld

Een sinus van 1,4 kHz wordt zonder anti-aliasingfilter bemonsterd met 2 kHz. Bij welke frequentie f_a verschijnt hij in de samples? Geef het antwoord in Hz.

f = 1,4 kHzf_s = 2 kHz

f_a = Hz

4.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk

Een multiplexer met 2 kanalen voedt één ADC. Elke conversie duurt 10 µs, en na elke kanaalwissel heeft de ingang 5 µs nodig om in te stellen. De kanalen worden om de beurt zonder pauze afgetast. Bepaal de bemonsteringsfrequentie f_s van elk kanaal, in kHz.

n = 2t_c = 10 µst_set = 5 µs

f_s = kHz

5.OpampschakelingenGemiddeld

De opamp is ideaal en wordt gevoed met ±15 V. Vind de uitgangsspanning V_out.

V_in = −1 VR₁ = 4,7 kΩR_f = 4,7 kΩ

V_out = V

6.OpampschakelingenMoeilijk

De opamp is ideaal en wordt gevoed met ±15 V. De weerstandsverhoudingen zijn niet op elkaar afgestemd. Vind de uitgangsspanning V_out.

V₁ = 1,7 VV₂ = 0,7 VR₁ = 100 kΩR₂ = 47 kΩR₃ = 1 kΩR₄ = 47 kΩ

V_out = V

7.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld

Vind de vervangingsweerstand R_eq die de bron V₁ ziet.

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

8.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk

Vind de vervangingsweerstand R_eq die de bron V₁ ziet.

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

9.Thévenin en NortonGemiddeld

Een belasting R_L = 12 Ω is aangesloten over a–b. Vervang de rest van de schakeling door het Thévenin-equivalent en vind de belastingsstroom I_L.

V₁ = 24 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

10.Thévenin en NortonMoeilijk

Een belasting R_L = 6 Ω is aangesloten over a–b. Gebruik een Thévenin-equivalent om het vermogen P_L in de belasting te vinden.

V₁ = 24 VI_s = 6 AR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR_L = 6 Ω

P_L = W

3Oplossingen

1.Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Antwoord: V_ab = 6,25 mV

Brug van Wheatstone: twee spanningsdelers delen één voeding V_s. De linker deler R₁–R₂ geeft V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) en de rechter deler R₃–R₄ geeft V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); de uitgang is V_ab = V_a − V_b. De brug is in evenwicht (V_ab = 0, geen stroom in de meter) als R₁/R₂ = R₃/R₄, dat wil zeggen R₁·R₄ = R₂·R₃. Vanaf de uitgang gezien is de brug een Thévenin-bron met R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Relatieve verandering

ΔR/R = 0,75/150 = 0,005

Gelineariseerde uitgang

V_ab ≈ 5·0,005/4 = 6,25 mV

Antwoord

V_ab = 6,25 mV

De exacte waarde is 6,234 mV; de benadering is goed zolang ΔR/R klein is.

2.Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Antwoord: V_o = 2 mV

Rekstrookjes: een rekstrookje verandert zijn weerstand met de rek: ΔR/R = GF·ε, waarbij de k-factor GF ongeveer 2 is voor metaalfolie. In een brug met alle armen gelijk aan R geeft één actief rekstrookje (kwartbrug) V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Twee actieve rekstrookjes met tegengestelde rek in naburige armen (halve brug) geven V_s·GF·ε/2, en vier (volle brug) geven V_s·GF·ε. De spanning volgt uit de wet van Hooke, σ = E·ε. Weegcellen geven hun gevoeligheid op in mV/V: de uitgang bij volle belasting per volt bekrachtiging.

Relatieve weerstandsverandering

ΔR/R = 2·400·10⁻⁶ = 0,0008

Uitgang van de brug

V_o = V_s·GF·ε/2 = 5·0,0008/2 = 2 mV

Antwoord

V_o = 2 mV

3.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_a = 600 Hz

Bemonstering: een ADC meet het signaal f_s keer per seconde. Volgens het Nyquist–Shannon-theorema wordt een frequentie f alleen correct vastgelegd zolang f < f_s/2, de Nyquistfrequentie (vouwfrequentie), dus de bemonsteringsfrequentie moet groter zijn dan twee keer de hoogste signaalfrequentie. Een hogere frequentie gaat niet verloren: ze verschijnt als alias bij f_a = |f − k·f_s|, met het hele getal k dat het resultaat tussen 0 en f_s/2 brengt. De samples kunnen de twee niet uit elkaar houden, dus een analoog anti-aliasingfilter moet alles boven f_s/2 verwijderen vóór de ADC.

Nyquistfrequentie

f_s/2 = 1 kHz < f = 1,4 kHz

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

k = round(1400/2000) = 1

Aliasfrequentie

f_a = |1400 − 1·2000| = 600 Hz

Antwoord

f_a = 600 Hz

De gestippelde kromme in de figuur is de alias: ze loopt door precies dezelfde samples.

4.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_s = 33,33 kHz

Datasnelheden: elk kanaal levert f_s samples per seconde van N bits, dus de ruwe snelheid is kanalen × f_s × N bit/s. In het geheugen neemt een sample hele bytes in beslag (een sample van 12 bits wordt in 2 bytes opgeslagen), dus het geheugen voor een opname is kanalen × f_s × bytes per sample × tijd. Een gemultiplexte ADC zet de kanalen na elkaar om: elke conversie (inclusief insteltijd) duurt t, dus een ronde van n kanalen duurt n·t en elk kanaal wordt bemonsterd met 1/(n·t).

Tijd per kanaal

10 + 5 = 15 µs

Tijd per scan

2·15 = 30 µs

Bemonsteringsfrequentie per kanaal

f_s = 1/30 µs = 33,33 kHz

Antwoord

f_s = 33,33 kHz

5.Opampschakelingen

Antwoord: V_out = −2 V

Regels voor de ideale opamp: met tegenkoppeling stuurt de opamp zijn uitgang zo dat beide ingangen op dezelfde spanning staan (V₋ = V₊), en er loopt geen stroom in een van de ingangen. De stroomwet in de inverterende ingang met deze twee feiten geeft de uitgang.

De inverterende ingang volgt de ingang

V₋ = V₊ = −1 V

I = V₋/R₁ = −1/4,7 = −0,2128 mA

Uitgangsspanning

De stroom door R₁ loopt ook door R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = −1 + (−0,2128)·4,7 = −2 V

Antwoord

V_out = −2 V

6.Opampschakelingen

Antwoord: V_out = 0,2086 V

Spanning op de +-ingang

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 0,7·47/(1 + 47) = 0,6854 V

Superponeer de twee ingangen

Met V₂ = 0 ziet V₁ een inverterende versterker. Met V₁ = 0 wordt V₊ versterkt met de niet-inverterende versterking 1 + R₂/R₁.

V_out = −(47/100)·1,7 + (1 + 47/100)·0,6854 = −0,799 + 1,008 = 0,2086 V

Antwoord

V_out = 0,2086 V

7.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: R_eq = 11,57 Ω

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₃ + R₄ = 15 + 5 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 15·20/(15+20) = 8,571 Ω

R_eq = R₁ + 8,571 = 3 + 8,571 = 11,57 Ω

Antwoord

R_eq = 11,57 Ω

8.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: R_eq = 19,94 Ω

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₅ + R₆ = 10 + 3 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 3,059 Ω

R₃ + 3,059 = 28,06 Ω

R₂ ∥ 28,06 = 4,943 Ω

R_eq = R₁ + 4,943 = 15 + 4,943 = 19,94 Ω

Antwoord

R_eq = 19,94 Ω

9.Thévenin en Norton

Antwoord: I_L = 0,5455 A

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 8·8/(8+8) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 6 = 10 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·8/(8+8) = 12 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 12/(10 + 12) = 0,5455 A

10.Thévenin en Norton

Antwoord: P_L = 78,84 W

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 3·2/(3+2) = 1,2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,2 + 12 = 13,2 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 9,6 + (−6)·1,2 = 2,4 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 2,4 + (−6)·12 = −69,6 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −69,6/(13,2 + 6) = −3,625 A

P_L = I_L²·R_L = −3,625²·6 = 78,84 W

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Meet- en regeltechniek voor metingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Methode

Data-acquisitie en bemonstering

Methode

Opampschakelingen

Serie- en parallelweerstanden

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Relatieve verandering

Gelineariseerde uitgang

Antwoord

Relatieve weerstandsverandering

Uitgang van de brug

Antwoord

Nyquistfrequentie

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

Aliasfrequentie

Antwoord

Tijd per kanaal

Tijd per scan

Bemonsteringsfrequentie per kanaal

Antwoord

De inverterende ingang volgt de ingang

Uitgangsspanning

Antwoord

Spanning op de +-ingang

Superponeer de twee ingangen

Antwoord

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Antwoord

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning