Meet- en regeltechniek voor metingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Deelspanningen: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Output: V_ab = V_a − V_b
Balans: R₁/R₂ = R₃/R₄
Schuifdraadbrug: R/R_x = l/(100 − l)
Thévenin-weerstand: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
K-factor: ΔR/R = GF·ε
Uitgang van de brug: kwart V_s·GF·ε/4, half V_s·GF·ε/2, vol V_s·GF·ε
Kleine verandering, één arm: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Spanning: σ = E·ε

Methode

Behandel de brug als twee spanningsdelers over dezelfde voeding.
Stel voor evenwicht R₁/R₂ = R₃/R₄ en los op voor de onbekende weerstand.
Bepaal voor een onevenwichtige brug V_a en V_b uit de delers en trek ze af; gebruik het Thévenin-equivalent als een meter de uitgang belast.
Reken voor rekstrookjes de rek om naar ΔR/R = GF·ε en gebruik V_s·GF·ε/4, /2 of ×1 voor een kwart-, halve of volle brug.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Aliasfrequentie: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Stapgrootte: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding): ±½ LSB
Afkappende ADC-code: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits voor een resolutie r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid: kanalen × f_s × N bit/s
Gemultiplexte ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met f_s/2; een hogere frequentie verschijnt bij f_a = |f − k·f_s| met het dichtstbijzijnde veelvoud van f_s.
Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

Opampschakelingen

Inverterende versterker: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Niet-inverterende versterker: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Sommeerversterker: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ideale opamp: V₊ = V₋, I_in = 0

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Weerstanden parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Twee parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Wet van Ohm: V = I·R
Vermogen: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Brug van Wheatstone en rekstrookjesGemiddeld

Een brug heeft vier armen van 220 Ω en V_s = 10 V. De sensor R₂ neemt toe met ΔR = 2,2 Ω. Bepaal met de benadering voor kleine veranderingen de uitgang V_ab in mV.

V_s = 10 VR = 220 ΩΔR = 2,2 Ω

V_ab = mV

2.Brug van Wheatstone en rekstrookjesMoeilijk

Een kwartbrug (één actief rekstrookje, GF = 2) wordt bekrachtigd met 2,5 V. De grootste te meten rek is 500 µε, en die moet 2,5 V geven aan de ingang van een analoog-digitaalomzetter. Bepaal de versterking G van de versterker.

V_s = 2,5 VGF = 2ε_max = 500 µεV_FS = 2,5 V

G =

3.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld

Een recorder bemonstert 4 kanalen met elk 25 kHz en een 16-bits ADC. Elke sample wordt in hele bytes opgeslagen. Bepaal het geheugen M dat nodig is voor een opname van 5 min, in MB (1 MB = 10⁶ bytes).

n = 4f_s = 25 kHzN = 16t = 5 min

M = MB

4.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk

Een blokgolf van 1,5 kHz wordt zonder anti-aliasingfilter bemonsterd met 5 kHz. Een blokgolf bevat de oneven harmonischen 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Bij welke frequentie f_a verschijnt zijn harmonische 3f₁ in de bemonsterde data? Geef het antwoord in Hz.

f₁ = 1,5 kHzf_s = 5 kHzharmonische: 3f₁

f_a = Hz

5.OpampschakelingenGemiddeld

De opamp is ideaal en wordt gevoed met ±15 V. Vind de uitgangsspanning V_out.

V_in = −0,5 VR₁ = 10 kΩR_f = 47 kΩ

V_out = V

6.OpampschakelingenMoeilijk

De sommeerversterker gebruikt een ideale opamp met een voeding van ±15 V. Vind de uitgangsspanning V_out.

V₁ = 0,2 VV₂ = 1,3 VR₁ = 2 kΩR₂ = 47 kΩR_f = 2 kΩ

V_out = V

7.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld

Vind de vervangingsweerstand R_eq die de bron V₁ ziet.

V₁ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

8.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk

Vind de stroom I_R1 die de bron levert, en die door R₁ loopt.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

9.Thévenin en NortonGemiddeld

Vind de Thévenin-weerstand R_th gezien vanaf de klemmen a–b.

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 Ω

R_th = Ω

10.Thévenin en NortonMoeilijk

Een belasting R_L = 12 Ω is aangesloten over a–b. Gebruik een Thévenin-equivalent om het vermogen P_L in de belasting te vinden.

V₁ = 30 VI_s = 2,5 AR₁ = 4 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 12 Ω

P_L = W

3Oplossingen

1.Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Antwoord: V_ab = 25 mV

Brug van Wheatstone: twee spanningsdelers delen één voeding V_s. De linker deler R₁–R₂ geeft V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) en de rechter deler R₃–R₄ geeft V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); de uitgang is V_ab = V_a − V_b. De brug is in evenwicht (V_ab = 0, geen stroom in de meter) als R₁/R₂ = R₃/R₄, dat wil zeggen R₁·R₄ = R₂·R₃. Vanaf de uitgang gezien is de brug een Thévenin-bron met R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Relatieve verandering

ΔR/R = 2,2/220 = 0,01

Gelineariseerde uitgang

V_ab ≈ 10·0,01/4 = 25 mV

Antwoord

V_ab = 25 mV

De exacte waarde is 24,88 mV; de benadering is goed zolang ΔR/R klein is.

2.Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Antwoord: G = 4000

Rekstrookjes: een rekstrookje verandert zijn weerstand met de rek: ΔR/R = GF·ε, waarbij de k-factor GF ongeveer 2 is voor metaalfolie. In een brug met alle armen gelijk aan R geeft één actief rekstrookje (kwartbrug) V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Twee actieve rekstrookjes met tegengestelde rek in naburige armen (halve brug) geven V_s·GF·ε/2, en vier (volle brug) geven V_s·GF·ε. De spanning volgt uit de wet van Hooke, σ = E·ε. Weegcellen geven hun gevoeligheid op in mV/V: de uitgang bij volle belasting per volt bekrachtiging.

Uitgang van de brug bij volle schaal

V_o = 0,625 mV

Versterking

G = 2,5/0,000625 = 4000

Antwoord

G = 4000

3.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: M = 60 MB

Datasnelheden: elk kanaal levert f_s samples per seconde van N bits, dus de ruwe snelheid is kanalen × f_s × N bit/s. In het geheugen neemt een sample hele bytes in beslag (een sample van 12 bits wordt in 2 bytes opgeslagen), dus het geheugen voor een opname is kanalen × f_s × bytes per sample × tijd. Een gemultiplexte ADC zet de kanalen na elkaar om: elke conversie (inclusief insteltijd) duurt t, dus een ronde van n kanalen duurt n·t en elk kanaal wordt bemonsterd met 1/(n·t).

Bytes per sample

⌈16/8⌉ = 2 B

Bytesnelheid

4·25000·2 = 200000 B/s

Geheugen

M = 200000·300 = 6 × 10⁷ B = 60 MB

Antwoord

M = 60 MB

4.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_a = 500 Hz

Bemonstering: een ADC meet het signaal f_s keer per seconde. Volgens het Nyquist–Shannon-theorema wordt een frequentie f alleen correct vastgelegd zolang f < f_s/2, de Nyquistfrequentie (vouwfrequentie), dus de bemonsteringsfrequentie moet groter zijn dan twee keer de hoogste signaalfrequentie. Een hogere frequentie gaat niet verloren: ze verschijnt als alias bij f_a = |f − k·f_s|, met het hele getal k dat het resultaat tussen 0 en f_s/2 brengt. De samples kunnen de twee niet uit elkaar houden, dus een analoog anti-aliasingfilter moet alles boven f_s/2 verwijderen vóór de ADC.

Frequentie van de harmonische

3f₁ = 3·1,5 kHz = 4,5 kHz

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

m = round(0,9) = 1

Aliasfrequentie

f_a = |4500 − 1·5000| = 500 Hz

Antwoord

f_a = 500 Hz

De alias komt binnen de signaalband terecht, waar geen digitaal filter hem kan verwijderen. Alleen een analoog filter vóór de ADC helpt.

5.Opampschakelingen

Antwoord: V_out = −2,85 V

Regels voor de ideale opamp: met tegenkoppeling stuurt de opamp zijn uitgang zo dat beide ingangen op dezelfde spanning staan (V₋ = V₊), en er loopt geen stroom in een van de ingangen. De stroomwet in de inverterende ingang met deze twee feiten geeft de uitgang.

De inverterende ingang volgt de ingang

V₋ = V₊ = −0,5 V

I = V₋/R₁ = −0,5/10 = −0,05 mA

Uitgangsspanning

De stroom door R₁ loopt ook door R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = −0,5 + (−0,05)·47 = −2,85 V

Antwoord

V_out = −2,85 V

6.Opampschakelingen

Antwoord: V_out = −0,2553 V

Ingangsstromen

V₋ = 0, dus over elke ingangsweerstand staat zijn volledige ingangsspanning.

I₁ = V₁/R₁ = 0,2/2 = 0,1 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1,3/47 = 0,02766 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,1277 mA

Uitgangsspanning

V_out = −R_f·I_f = −2·0,1277 = −0,2553 V

Antwoord

V_out = −0,2553 V

7.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: R_eq = 19,62 Ω

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₃ + R₄ = 8 + 12 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 6·20/(6+20) = 4,615 Ω

R_eq = R₁ + 4,615 = 15 + 4,615 = 19,62 Ω

Antwoord

R_eq = 19,62 Ω

8.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: I_R1 = 3,085 A

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₅ + R₆ = 10 + 30 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 17,14 Ω

R₃ + 17,14 = 22,14 Ω

R₂ ∥ 22,14 = 1,834 Ω

R_eq = R₁ + 1,834 = 4 + 1,834 = 5,834 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen R_eq, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/5,834 = 3,085 A

Antwoord

I_R1 = 3,085 A

9.Thévenin en Norton

Antwoord: R_th = 11,2 Ω

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 2·3/(2+3) = 1,2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,2 + 10 = 11,2 Ω

10.Thévenin en Norton

Antwoord: P_L = 4,687 W

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 4·4/(4+4) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 10 = 12 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 15 + (−2,5)·2 = 10 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 10 + (−2,5)·10 = −15 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −15/(12 + 12) = −0,625 A

P_L = I_L²·R_L = −0,625²·12 = 4,687 W

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Meet- en regeltechniek voor metingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Methode

Data-acquisitie en bemonstering

Methode

Opampschakelingen

Serie- en parallelweerstanden

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Relatieve verandering

Gelineariseerde uitgang

Antwoord

Uitgang van de brug bij volle schaal

Versterking

Antwoord

Bytes per sample

Bytesnelheid

Geheugen

Antwoord

Frequentie van de harmonische

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

Aliasfrequentie

Antwoord

De inverterende ingang volgt de ingang

Uitgangsspanning

Antwoord

Ingangsstromen

Uitgangsspanning

Antwoord

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Antwoord

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Stroom uit de bron

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning