Meet- en regeltechniek voor metingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Deelspanningen: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Output: V_ab = V_a − V_b
Balans: R₁/R₂ = R₃/R₄
Schuifdraadbrug: R/R_x = l/(100 − l)
Thévenin-weerstand: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
K-factor: ΔR/R = GF·ε
Uitgang van de brug: kwart V_s·GF·ε/4, half V_s·GF·ε/2, vol V_s·GF·ε
Kleine verandering, één arm: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Spanning: σ = E·ε

Methode

Behandel de brug als twee spanningsdelers over dezelfde voeding.
Stel voor evenwicht R₁/R₂ = R₃/R₄ en los op voor de onbekende weerstand.
Bepaal voor een onevenwichtige brug V_a en V_b uit de delers en trek ze af; gebruik het Thévenin-equivalent als een meter de uitgang belast.
Reken voor rekstrookjes de rek om naar ΔR/R = GF·ε en gebruik V_s·GF·ε/4, /2 of ×1 voor een kwart-, halve of volle brug.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Aliasfrequentie: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Stapgrootte: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding): ±½ LSB
Afkappende ADC-code: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits voor een resolutie r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid: kanalen × f_s × N bit/s
Gemultiplexte ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met f_s/2; een hogere frequentie verschijnt bij f_a = |f − k·f_s| met het dichtstbijzijnde veelvoud van f_s.
Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

Opampschakelingen

Inverterende versterker: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Niet-inverterende versterker: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Sommeerversterker: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ideale opamp: V₊ = V₋, I_in = 0

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Weerstanden parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Twee parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Wet van Ohm: V = I·R
Vermogen: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Brug van Wheatstone en rekstrookjesGemiddeld

Een rekstrookje van 220 Ω is één arm (R₂) van een brug met vier gelijke armen van 220 Ω en een bekrachtiging van 10 V. Bepaal het vermogen P_g dat in het rekstrookje wordt gedissipeerd, in mW. Zelfopwarming beperkt de bekrachtiging.

V_s = 10 VR = 220 Ω

P_g = mW

2.Brug van Wheatstone en rekstrookjesMoeilijk

Een brug met armen van 1000 Ω wordt bekrachtigd met 10 V en heeft vier actieve rekstrookjes, twee op trek en twee op druk (volle brug). De k-factor is 2,1 en de rek is 200 µε. Bepaal de uitgang V_o van de brug in mV.

V_s = 10 VGF = 2,1ε = 200 µε

V_o = mV

3.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld

Een sinus van 18 kHz wordt zonder anti-aliasingfilter bemonsterd met 20 kHz. Bij welke frequentie f_a verschijnt hij in de samples? Geef het antwoord in kHz.

f = 18 kHzf_s = 20 kHz

f_a = kHz

4.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk

Een multiplexer met 2 kanalen voedt één ADC. Elke conversie duurt 4 µs, en na elke kanaalwissel heeft de ingang 1 µs nodig om in te stellen. De kanalen worden om de beurt zonder pauze afgetast. Bepaal de bemonsteringsfrequentie f_s van elk kanaal, in kHz.

n = 2t_c = 4 µst_set = 1 µs

f_s = kHz

5.OpampschakelingenGemiddeld

De verschilversterker gebruikt een ideale opamp met een voeding van ±15 V, met R₃ = R₁ en R₄ = R₂. Vind de uitgangsspanning V_out.

V₁ = 2,4 VV₂ = 0,5 VR₁ = R₃ = 47 kΩR₂ = R₄ = 10 kΩ

V_out = V

6.OpampschakelingenMoeilijk

Twee ideale opamptrappen staan in cascade: een inverterende versterker (R₁, R_f1) gevolgd door een niet-inverterende versterker (R₂ naar massa, R_f2 in de terugkoppeling). Beide worden gevoed met ±15 V. De ingang is V_in = 0,4 V. Vind de uitgangsspanning V_out.

R₁ = 2 kΩR_f1 = 10 kΩR₂ = 100 kΩR_f2 = 1 kΩV_in = 0,4 V

V_out = V

7.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld

Vind de stroom I_R2 door R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

8.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk

Vind de stroom I_R2 door R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 30 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

9.Thévenin en NortonGemiddeld

Vind de Thévenin-spanning V_th gezien vanaf de klemmen a–b.

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 Ω

V_th = V

10.Thévenin en NortonMoeilijk

Vind de Thévenin-spanning V_th gezien vanaf de klemmen a–b.

V₁ = 6 VI_s = 2,5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 5 Ω

V_th = V

3Oplossingen

1.Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Antwoord: P_g = 113,6 mW

Brug van Wheatstone: twee spanningsdelers delen één voeding V_s. De linker deler R₁–R₂ geeft V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) en de rechter deler R₃–R₄ geeft V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); de uitgang is V_ab = V_a − V_b. De brug is in evenwicht (V_ab = 0, geen stroom in de meter) als R₁/R₂ = R₃/R₄, dat wil zeggen R₁·R₄ = R₂·R₃. Vanaf de uitgang gezien is de brug een Thévenin-bron met R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Spanning over het rekstrookje

V = 10/2 = 5 V

Vermogen

P_g = 5²/220 = 113,6 mW

Antwoord

P_g = 113,6 mW

2.Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Antwoord: V_o = 4,2 mV

Rekstrookjes: een rekstrookje verandert zijn weerstand met de rek: ΔR/R = GF·ε, waarbij de k-factor GF ongeveer 2 is voor metaalfolie. In een brug met alle armen gelijk aan R geeft één actief rekstrookje (kwartbrug) V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Twee actieve rekstrookjes met tegengestelde rek in naburige armen (halve brug) geven V_s·GF·ε/2, en vier (volle brug) geven V_s·GF·ε. De spanning volgt uit de wet van Hooke, σ = E·ε. Weegcellen geven hun gevoeligheid op in mV/V: de uitgang bij volle belasting per volt bekrachtiging.

Relatieve weerstandsverandering

ΔR/R = 2,1·200·10⁻⁶ = 0,00042

Uitgang van de brug

V_o = V_s·GF·ε = 10·0,00042 = 4,2 mV

Antwoord

V_o = 4,2 mV

3.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_a = 2 kHz

Bemonstering: een ADC meet het signaal f_s keer per seconde. Volgens het Nyquist–Shannon-theorema wordt een frequentie f alleen correct vastgelegd zolang f < f_s/2, de Nyquistfrequentie (vouwfrequentie), dus de bemonsteringsfrequentie moet groter zijn dan twee keer de hoogste signaalfrequentie. Een hogere frequentie gaat niet verloren: ze verschijnt als alias bij f_a = |f − k·f_s|, met het hele getal k dat het resultaat tussen 0 en f_s/2 brengt. De samples kunnen de twee niet uit elkaar houden, dus een analoog anti-aliasingfilter moet alles boven f_s/2 verwijderen vóór de ADC.

Nyquistfrequentie

f_s/2 = 10 kHz < f = 18 kHz

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

k = round(18/20) = 1

Aliasfrequentie

f_a = |18 − 1·20| = 2 kHz

Antwoord

f_a = 2 kHz

De gestippelde kromme in de figuur is de alias: ze loopt door precies dezelfde samples.

4.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_s = 100 kHz

Datasnelheden: elk kanaal levert f_s samples per seconde van N bits, dus de ruwe snelheid is kanalen × f_s × N bit/s. In het geheugen neemt een sample hele bytes in beslag (een sample van 12 bits wordt in 2 bytes opgeslagen), dus het geheugen voor een opname is kanalen × f_s × bytes per sample × tijd. Een gemultiplexte ADC zet de kanalen na elkaar om: elke conversie (inclusief insteltijd) duurt t, dus een ronde van n kanalen duurt n·t en elk kanaal wordt bemonsterd met 1/(n·t).

Tijd per kanaal

4 + 1 = 5 µs

Tijd per scan

2·5 = 10 µs

Bemonsteringsfrequentie per kanaal

f_s = 1/10 µs = 100 kHz

Antwoord

f_s = 100 kHz

5.Opampschakelingen

Antwoord: V_out = −0,4043 V

Regels voor de ideale opamp: met tegenkoppeling stuurt de opamp zijn uitgang zo dat beide ingangen op dezelfde spanning staan (V₋ = V₊), en er loopt geen stroom in een van de ingangen. De stroomwet in de inverterende ingang met deze twee feiten geeft de uitgang.

Spanning op de ingangen

R₃ en R₄ voeren dezelfde stroom, dus ze vormen een spanningsdeler; de terugkoppeling maakt V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 0,5·10/(47 + 10) = 0,08772 V

V₋ = V₊

Stroomwet in de inverterende ingang

(2,4 − 0,08772)/47 = (0,08772 − V_out)/10

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (10/47)·(0,5 − 2,4) = −0,4043 V

Antwoord

V_out = −0,4043 V

6.Opampschakelingen

Antwoord: V_out = −2,02 V

Versterking van elke trap

A₁ = −R_f1/R₁ = −10/2 = −5

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 1/100 = 1,01

Trap voor trap

V₁ = −5·0,4 = −2 V

V_out = 1,01·(−2) = −2,02 V

Antwoord

V_out = −2,02 V

7.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: I_R2 = 0,1875 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₃ + R₄ = 20 + 20 = 40 Ω

R₂ ∥ 40 = 8·40/(8+40) = 6,667 Ω

R_eq = R₁ + 6,667 = 20 + 6,667 = 26,67 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen R_eq, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/26,67 = 0,225 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,225·20 = 1,5 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,5/8 = 0,1875 A

Antwoord

I_R2 = 0,1875 A

8.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: I_R2 = 0,1753 A

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₅ + R₆ = 15 + 8 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 1,84 Ω

R₃ + 1,84 = 26,84 Ω

R₂ ∥ 26,84 = 1,861 Ω

R_eq = R₁ + 1,861 = 30 + 1,861 = 31,86 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen R_eq, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/31,86 = 0,1883 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,1883·30 = 0,3505 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0,3505/2 = 0,1753 A

Antwoord

I_R2 = 0,1753 A

9.Thévenin en Norton

Antwoord: V_th = 3,333 V

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 8·4/(8+4) = 2,667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,667 + 6 = 8,667 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·4/(8+4) = 3,333 V

10.Thévenin en Norton

Antwoord: V_th = 27,63 V

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 15·8/(15+8) = 5,217 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5,217 + 5 = 10,22 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2,087 + 2,5·5,217 = 15,13 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 15,13 + 2,5·5 = 27,63 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Meet- en regeltechniek voor metingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Methode

Data-acquisitie en bemonstering

Methode

Opampschakelingen

Serie- en parallelweerstanden

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Spanning over het rekstrookje

Vermogen

Antwoord

Relatieve weerstandsverandering

Uitgang van de brug

Antwoord

Nyquistfrequentie

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

Aliasfrequentie

Antwoord

Tijd per kanaal

Tijd per scan

Bemonsteringsfrequentie per kanaal

Antwoord

Spanning op de ingangen

Stroomwet in de inverterende ingang

Antwoord

Versterking van elke trap

Trap voor trap

Antwoord

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Stroom uit de bron

Stroom door R₂

Antwoord

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Stroom uit de bron

Stroom door R₂

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning