Meet- en regeltechniek voor metingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Deelspanningen: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Output: V_ab = V_a − V_b
Balans: R₁/R₂ = R₃/R₄
Schuifdraadbrug: R/R_x = l/(100 − l)
Thévenin-weerstand: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
K-factor: ΔR/R = GF·ε
Uitgang van de brug: kwart V_s·GF·ε/4, half V_s·GF·ε/2, vol V_s·GF·ε
Kleine verandering, één arm: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Spanning: σ = E·ε

Methode

Behandel de brug als twee spanningsdelers over dezelfde voeding.
Stel voor evenwicht R₁/R₂ = R₃/R₄ en los op voor de onbekende weerstand.
Bepaal voor een onevenwichtige brug V_a en V_b uit de delers en trek ze af; gebruik het Thévenin-equivalent als een meter de uitgang belast.
Reken voor rekstrookjes de rek om naar ΔR/R = GF·ε en gebruik V_s·GF·ε/4, /2 of ×1 voor een kwart-, halve of volle brug.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Aliasfrequentie: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Stapgrootte: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding): ±½ LSB
Afkappende ADC-code: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits voor een resolutie r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid: kanalen × f_s × N bit/s
Gemultiplexte ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met f_s/2; een hogere frequentie verschijnt bij f_a = |f − k·f_s| met het dichtstbijzijnde veelvoud van f_s.
Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

Opampschakelingen

Inverterende versterker: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Niet-inverterende versterker: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Sommeerversterker: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ideale opamp: V₊ = V₋, I_in = 0

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Weerstanden parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Twee parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Wet van Ohm: V = I·R
Vermogen: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Brug van Wheatstone en rekstrookjesGemiddeld

Een galvanometer met een weerstand van 500 Ω is aangesloten tussen a en b van de getoonde brug (V_s = 10 V). Bepaal de galvanometerstroom I_g van a naar b, in µA.

V_s = 10 VR₁ = 1000 ΩR₂ = 120 ΩR₃ = 100 ΩR₄ = 20 ΩR_g = 500 Ω

I_g = µA

2.Brug van Wheatstone en rekstrookjesMoeilijk

Een kwartbrug (één actief rekstrookje, GF = 2,05) wordt bekrachtigd met 3 V. De grootste te meten rek is 250 µε, en die moet 2,5 V geven aan de ingang van een analoog-digitaalomzetter. Bepaal de versterking G van de versterker.

V_s = 3 VGF = 2,05ε_max = 250 µεV_FS = 2,5 V

G =

3.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld

Een 8-bits ADC met een ingangsbereik van 0 tot 2,5 V kapt af: zijn uitgangscode is ⌊V_in/LSB⌋ met 1 LSB = V_FSR/2ᴺ. Bepaal de decimale uitgangscode D voor een ingang van 1,326 V.

N = 8V_FSR = 2,5 VV_in = 1,326 V

D =

4.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk

Een microcontroller met een klok van 10 MHz stelt zijn UART-baudrate in als f_clk/(16·D), met D een geheel getal dat op de dichtstbijzijnde waarde is afgerond. De doelwaarde is 115200 baud. Bepaal de procentuele fout van de werkelijke baudrate (positief als hij te snel is).

f_clk = 10 MHzdoel = 115200 Bd

e = %

5.OpampschakelingenGemiddeld

De opamp is ideaal en wordt gevoed met ±15 V; de uitgang verzadigt bij ±13 V. De niet-inverterende versterker wordt gestuurd met een sinusvormig signaal. Vind de grootste ingangsamplitude V_in,max (topwaarde) waarbij de uitgang niet wordt afgekapt.

R₁ = 22 kΩR_f = 47 kΩV_sat = ±13 V

V_in,max = V

6.OpampschakelingenMoeilijk

Twee ideale opamptrappen staan in cascade: een inverterende versterker (R₁, R_f1) gevolgd door een niet-inverterende versterker (R₂ naar massa, R_f2 in de terugkoppeling). Beide worden gevoed met ±15 V. De ingang is V_in = −0,85 V. Vind de uitgangsspanning V_out.

R₁ = 22 kΩR_f1 = 47 kΩR₂ = 100 kΩR_f2 = 1 kΩV_in = −0,85 V

V_out = V

7.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld

Vind de stroom I_R1 die de bron levert, en die door R₁ loopt.

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

8.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk

Vind de stroom I_R2 door R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 6 Ω

I_R2 = A

9.Thévenin en NortonGemiddeld

Vind de Norton-stroom I_N: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 Ω

I_N = A

10.Thévenin en NortonMoeilijk

Een belasting R_L = 3 Ω is aangesloten over a–b. Gebruik een Thévenin-equivalent om het vermogen P_L in de belasting te vinden.

V₁ = 30 VI_s = 0,5 AR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 3 Ω

P_L = W

3Oplossingen

1.Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Antwoord: I_g = −954,2 µA

Brug van Wheatstone: twee spanningsdelers delen één voeding V_s. De linker deler R₁–R₂ geeft V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) en de rechter deler R₃–R₄ geeft V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); de uitgang is V_ab = V_a − V_b. De brug is in evenwicht (V_ab = 0, geen stroom in de meter) als R₁/R₂ = R₃/R₄, dat wil zeggen R₁·R₄ = R₂·R₃. Vanaf de uitgang gezien is de brug een Thévenin-bron met R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Thévenin-spanning

V_th = 10·(120/1120 − 20/120) = −0,5952 V

Thévenin-weerstand

R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 123,8 Ω

Galvanometerstroom

I_g = −0,5952/(123,8 + 500) = −954,2 µA

Antwoord

I_g = −954,2 µA

2.Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Antwoord: G = 6504

Rekstrookjes: een rekstrookje verandert zijn weerstand met de rek: ΔR/R = GF·ε, waarbij de k-factor GF ongeveer 2 is voor metaalfolie. In een brug met alle armen gelijk aan R geeft één actief rekstrookje (kwartbrug) V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Twee actieve rekstrookjes met tegengestelde rek in naburige armen (halve brug) geven V_s·GF·ε/2, en vier (volle brug) geven V_s·GF·ε. De spanning volgt uit de wet van Hooke, σ = E·ε. Weegcellen geven hun gevoeligheid op in mV/V: de uitgang bij volle belasting per volt bekrachtiging.

Uitgang van de brug bij volle schaal

V_o = 0,3844 mV

Versterking

G = 2,5/0,0003844 = 6504

Antwoord

G = 6504

3.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: D = 135

ADC-resolutie: een N-bits omzetter verdeelt zijn volle-schaalbereik V_FSR in 2ᴺ codes, van 0 tot 2ᴺ − 1. Eén stap is 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: de kleinste verandering die de omzetter kan tonen. Een afkappende ADC geeft de code ⌊V_in/LSB⌋; een afrondende ADC zit nooit meer dan ½ LSB van de ware waarde af, zijn kwantisatiefout. Elke extra bit halveert de LSB en voegt ongeveer 6 dB toe aan de ideale signaal-kwantisatieruisverhouding SQNR = 6,02·N + 1,76 dB voor een sinus met volle uitsturing. Om een resolutie r over een bereik te halen, kies je de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/r.

Stapgrootte

1 LSB = 2,5/2⁸ = 9,766 mV

Code

V_in/LSB = 1326/9,766 = 135,8

code = ⌊135,8⌋ = 135

Antwoord

D = 135

In binair is dat 10000111.

4.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: e = 8,507 %

UART: een asynchrone seriële verbinding verstuurt elke byte als een frame: één startbit (laag), de databits, een optionele pariteitsbit en een of twee stopbits (hoog). De baudrate is het aantal bits per seconde, dus één bit duurt T_b = 1/baud en een frame van n bits duurt n/baud. Het gangbare 8N1-formaat heeft 10 bits per byte. De baudgenerator deelt de klok: baud = f_clk/(16·D) met een geheel getal D, dus de werkelijke baudrate wijkt iets af van de gewenste; een fout onder ongeveer 2 % is meestal acceptabel.

Deler

D = 10·10⁶/(16·115200) = 5,425 → 5

Werkelijke baudrate

10·10⁶/(16·5) = 125000 Bd

Fout

(125000 − 115200)/115200·100 = 8,507 %

Antwoord

e = 8,507 %

Een fout boven ongeveer 2 % maakt de verbinding onbetrouwbaar: kies een andere klok of baudrate.

5.Opampschakelingen

Antwoord: V_in,max = 4,145 V

Regels voor de ideale opamp: met tegenkoppeling stuurt de opamp zijn uitgang zo dat beide ingangen op dezelfde spanning staan (V₋ = V₊), en er loopt geen stroom in een van de ingangen. De stroomwet in de inverterende ingang met deze twee feiten geeft de uitgang.

Versterking

A_v = 1 + R_f/R₁ = 1 + 47/22 = 3,136

Grootste ingang vóór afkappen

V_in,max = V_sat/|A_v| = 13/3,136 = 4,145 V

Antwoord

V_in,max = 4,145 V

6.Opampschakelingen

Antwoord: V_out = 1,834 V

Versterking van elke trap

A₁ = −R_f1/R₁ = −47/22 = −2,136

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 1/100 = 1,01

Trap voor trap

V₁ = −2,136·(−0,85) = 1,816 V

V_out = 1,01·1,816 = 1,834 V

Antwoord

V_out = 1,834 V

7.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: I_R1 = 0,8077 A

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₃ + R₄ = 3 + 12 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 20·15/(20+15) = 8,571 Ω

R_eq = R₁ + 8,571 = 10 + 8,571 = 18,57 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen R_eq, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/18,57 = 0,8077 A

Antwoord

I_R1 = 0,8077 A

8.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: I_R2 = 0,3919 A

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₅ + R₆ = 8 + 6 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 8,235 Ω

R₃ + 8,235 = 38,24 Ω

R₂ ∥ 38,24 = 13,13 Ω

R_eq = R₁ + 13,13 = 12 + 13,13 = 25,13 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen R_eq, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/25,13 = 0,5969 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0,5969·12 = 7,838 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,838/20 = 0,3919 A

Antwoord

I_R2 = 0,3919 A

9.Thévenin en Norton

Antwoord: I_N = 0,9375 A

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 15·2/(15+2) = 1,765 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,765 + 2 = 3,765 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·2/(15+2) = 3,529 V

Norton-equivalent

Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.

I_N = V_th/R_th = 3,529/3,765 = 0,9375 A

10.Thévenin en Norton

Antwoord: P_L = 2,479 W

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,286 + 10 = 14,29 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 8,571 + 0,5·4,286 = 10,71 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 10,71 + 0,5·10 = 15,71 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 15,71/(14,29 + 3) = 0,9091 A

P_L = I_L²·R_L = 0,9091²·3 = 2,479 W

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Meet- en regeltechniek voor metingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Methode

Data-acquisitie en bemonstering

Methode

Opampschakelingen

Serie- en parallelweerstanden

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Thévenin-spanning

Thévenin-weerstand

Galvanometerstroom

Antwoord

Uitgang van de brug bij volle schaal

Versterking

Antwoord

Stapgrootte

Code

Antwoord

Deler

Werkelijke baudrate

Fout

Antwoord

Versterking

Grootste ingang vóór afkappen

Antwoord

Versterking van elke trap

Trap voor trap

Antwoord

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Stroom uit de bron

Antwoord

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Stroom uit de bron

Stroom door R₂

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Norton-equivalent

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning