Meet- en regeltechniek voor metingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Deelspanningen: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Output: V_ab = V_a − V_b
Balans: R₁/R₂ = R₃/R₄
Schuifdraadbrug: R/R_x = l/(100 − l)
Thévenin-weerstand: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
K-factor: ΔR/R = GF·ε
Uitgang van de brug: kwart V_s·GF·ε/4, half V_s·GF·ε/2, vol V_s·GF·ε
Kleine verandering, één arm: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Spanning: σ = E·ε

Methode

Behandel de brug als twee spanningsdelers over dezelfde voeding.
Stel voor evenwicht R₁/R₂ = R₃/R₄ en los op voor de onbekende weerstand.
Bepaal voor een onevenwichtige brug V_a en V_b uit de delers en trek ze af; gebruik het Thévenin-equivalent als een meter de uitgang belast.
Reken voor rekstrookjes de rek om naar ΔR/R = GF·ε en gebruik V_s·GF·ε/4, /2 of ×1 voor een kwart-, halve of volle brug.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Aliasfrequentie: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Stapgrootte: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding): ±½ LSB
Afkappende ADC-code: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits voor een resolutie r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid: kanalen × f_s × N bit/s
Gemultiplexte ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met f_s/2; een hogere frequentie verschijnt bij f_a = |f − k·f_s| met het dichtstbijzijnde veelvoud van f_s.
Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

Opampschakelingen

Inverterende versterker: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Niet-inverterende versterker: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Sommeerversterker: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ideale opamp: V₊ = V₋, I_in = 0

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Weerstanden parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Twee parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Wet van Ohm: V = I·R
Vermogen: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Brug van Wheatstone en rekstrookjesGemiddeld

Een brug heeft vier armen van 200 Ω en V_s = 6 V. De sensor R₂ neemt toe met ΔR = 1,6 Ω. Bepaal met de benadering voor kleine veranderingen de uitgang V_ab in mV.

V_s = 6 VR = 200 ΩΔR = 1,6 Ω

V_ab = mV

2.Brug van Wheatstone en rekstrookjesMoeilijk

Een kwartbrug (één actief rekstrookje, GF = 2,12) wordt bekrachtigd met 3 V. De grootste te meten rek is 1000 µε, en die moet 10 V geven aan de ingang van een analoog-digitaalomzetter. Bepaal de versterking G van de versterker.

V_s = 3 VGF = 2,12ε_max = 1000 µεV_FS = 10 V

G =

3.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld

Een UART verstuurt bytes met 38400 baud in het formaat 8E1: 8 databits, een even pariteitsbit en 1 stopbit(s), plus de startbit. Bepaal het grootste aantal databytes per seconde dat hij kan overdragen.

baud = 38400 Bd8E1

R_B = B/s

4.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk

Een blokgolf van 12 kHz wordt zonder anti-aliasingfilter bemonsterd met 50 kHz. Een blokgolf bevat de oneven harmonischen 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Bij welke frequentie f_a verschijnt zijn harmonische 5f₁ in de bemonsterde data? Geef het antwoord in kHz.

f₁ = 12 kHzf_s = 50 kHzharmonische: 5f₁

f_a = kHz

5.OpampschakelingenGemiddeld

De verschilversterker gebruikt een ideale opamp met een voeding van ±15 V, met R₃ = R₁ en R₄ = R₂. Vind de uitgangsspanning V_out.

V₁ = 2,9 VV₂ = −0,8 VR₁ = R₃ = 47 kΩR₂ = R₄ = 10 kΩ

V_out = V

6.OpampschakelingenMoeilijk

De sommeerversterker gebruikt een ideale opamp met een voeding van ±15 V. Vind de stroom I_f door de terugkoppelweerstand, in de richting van de uitgang.

V₁ = 0,2 VV₂ = 2 VR₁ = 22 kΩR₂ = 4,7 kΩR_f = 22 kΩ

I_f = mA

7.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld

Vind de vervangingsweerstand R_eq die de bron V₁ ziet.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 3 Ω

R_eq = Ω

8.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk

Vind de stroom I_R2 door R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

9.Thévenin en NortonGemiddeld

Een belasting R_L = 15 Ω is aangesloten over a–b. Vervang de rest van de schakeling door het Thévenin-equivalent en vind de belastingsstroom I_L.

V₁ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 15 Ω

I_L = A

10.Thévenin en NortonMoeilijk

Een belasting R_L = 8 Ω is aangesloten over a–b. Gebruik een Thévenin-equivalent om het vermogen P_L in de belasting te vinden.

V₁ = 24 VI_s = 5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 8 Ω

P_L = W

3Oplossingen

1.Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Antwoord: V_ab = 12 mV

Brug van Wheatstone: twee spanningsdelers delen één voeding V_s. De linker deler R₁–R₂ geeft V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) en de rechter deler R₃–R₄ geeft V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); de uitgang is V_ab = V_a − V_b. De brug is in evenwicht (V_ab = 0, geen stroom in de meter) als R₁/R₂ = R₃/R₄, dat wil zeggen R₁·R₄ = R₂·R₃. Vanaf de uitgang gezien is de brug een Thévenin-bron met R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Relatieve verandering

ΔR/R = 1,6/200 = 0,008

Gelineariseerde uitgang

V_ab ≈ 6·0,008/4 = 12 mV

Antwoord

V_ab = 12 mV

De exacte waarde is 11,95 mV; de benadering is goed zolang ΔR/R klein is.

2.Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Antwoord: G = 6289

Rekstrookjes: een rekstrookje verandert zijn weerstand met de rek: ΔR/R = GF·ε, waarbij de k-factor GF ongeveer 2 is voor metaalfolie. In een brug met alle armen gelijk aan R geeft één actief rekstrookje (kwartbrug) V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Twee actieve rekstrookjes met tegengestelde rek in naburige armen (halve brug) geven V_s·GF·ε/2, en vier (volle brug) geven V_s·GF·ε. De spanning volgt uit de wet van Hooke, σ = E·ε. Weegcellen geven hun gevoeligheid op in mV/V: de uitgang bij volle belasting per volt bekrachtiging.

Uitgang van de brug bij volle schaal

V_o = 1,59 mV

Versterking

G = 10/0,00159 = 6289

Antwoord

G = 6289

3.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: R_B = 3491 B/s

UART: een asynchrone seriële verbinding verstuurt elke byte als een frame: één startbit (laag), de databits, een optionele pariteitsbit en een of twee stopbits (hoog). De baudrate is het aantal bits per seconde, dus één bit duurt T_b = 1/baud en een frame van n bits duurt n/baud. Het gangbare 8N1-formaat heeft 10 bits per byte. De baudgenerator deelt de klok: baud = f_clk/(16·D) met een geheel getal D, dus de werkelijke baudrate wijkt iets af van de gewenste; een fout onder ongeveer 2 % is meestal acceptabel.

Bits per frame

1 + 8 + 1 + 1 = 11

Bytesnelheid

38400/11 = 3491 B/s

Antwoord

R_B = 3491 B/s

4.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_a = 10 kHz

Bemonstering: een ADC meet het signaal f_s keer per seconde. Volgens het Nyquist–Shannon-theorema wordt een frequentie f alleen correct vastgelegd zolang f < f_s/2, de Nyquistfrequentie (vouwfrequentie), dus de bemonsteringsfrequentie moet groter zijn dan twee keer de hoogste signaalfrequentie. Een hogere frequentie gaat niet verloren: ze verschijnt als alias bij f_a = |f − k·f_s|, met het hele getal k dat het resultaat tussen 0 en f_s/2 brengt. De samples kunnen de twee niet uit elkaar houden, dus een analoog anti-aliasingfilter moet alles boven f_s/2 verwijderen vóór de ADC.

Frequentie van de harmonische

5f₁ = 5·12 kHz = 60 kHz

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

m = round(1,2) = 1

Aliasfrequentie

f_a = |60 − 1·50| = 10 kHz

Antwoord

f_a = 10 kHz

De alias komt binnen de signaalband terecht, waar geen digitaal filter hem kan verwijderen. Alleen een analoog filter vóór de ADC helpt.

5.Opampschakelingen

Antwoord: V_out = −0,7872 V

Regels voor de ideale opamp: met tegenkoppeling stuurt de opamp zijn uitgang zo dat beide ingangen op dezelfde spanning staan (V₋ = V₊), en er loopt geen stroom in een van de ingangen. De stroomwet in de inverterende ingang met deze twee feiten geeft de uitgang.

Spanning op de ingangen

R₃ en R₄ voeren dezelfde stroom, dus ze vormen een spanningsdeler; de terugkoppeling maakt V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = −0,8·10/(47 + 10) = −0,1404 V

V₋ = V₊

Stroomwet in de inverterende ingang

(2,9 − −0,1404)/47 = (−0,1404 − V_out)/10

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (10/47)·(−0,8 − 2,9) = −0,7872 V

Antwoord

V_out = −0,7872 V

6.Opampschakelingen

Antwoord: I_f = 0,4346 mA

Ingangsstromen

V₋ = 0, dus over elke ingangsweerstand staat zijn volledige ingangsspanning.

I₁ = V₁/R₁ = 0,2/22 = 0,009091 mA

I₂ = V₂/R₂ = 2/4,7 = 0,4255 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,4346 mA

Antwoord

I_f = 0,4346 mA

7.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: R_eq = 14,42 Ω

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₃ + R₄ = 4 + 3 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 12·7/(12+7) = 4,421 Ω

R_eq = R₁ + 4,421 = 10 + 4,421 = 14,42 Ω

Antwoord

R_eq = 14,42 Ω

8.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: I_R2 = 1,855 A

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₅ + R₆ = 5 + 20 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 4,167 Ω

R₃ + 4,167 = 34,17 Ω

R₂ ∥ 34,17 = 6,482 Ω

R_eq = R₁ + 6,482 = 4 + 6,482 = 10,48 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen R_eq, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/10,48 = 2,29 A

Stroom door R₂

Trek de spanningsval over R₁ af om de spanning in knooppunt A te krijgen; dat is de spanning over R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 2,29·4 = 14,84 V

I_R2 = V_A/R₂ = 14,84/8 = 1,855 A

Antwoord

I_R2 = 1,855 A

9.Thévenin en Norton

Antwoord: I_L = 0,3504 A

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 3·12/(3+12) = 2,4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,4 + 10 = 12,4 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·12/(3+12) = 9,6 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 9,6/(12,4 + 15) = 0,3504 A

10.Thévenin en Norton

Antwoord: P_L = 111,1 W

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 8·8/(8+8) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 10 = 14 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 12 + 5·4 = 32 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 32 + 5·10 = 82 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 82/(14 + 8) = 3,727 A

P_L = I_L²·R_L = 3,727²·8 = 111,1 W

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Meet- en regeltechniek voor metingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Methode

Data-acquisitie en bemonstering

Methode

Opampschakelingen

Serie- en parallelweerstanden

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Relatieve verandering

Gelineariseerde uitgang

Antwoord

Uitgang van de brug bij volle schaal

Versterking

Antwoord

Bits per frame

Bytesnelheid

Antwoord

Frequentie van de harmonische

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

Aliasfrequentie

Antwoord

Spanning op de ingangen

Stroomwet in de inverterende ingang

Antwoord

Ingangsstromen

Antwoord

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Antwoord

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Stroom uit de bron

Stroom door R₂

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning