Meet- en regeltechniek voor metingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 10 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Deelspanningen: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Output: V_ab = V_a − V_b
Balans: R₁/R₂ = R₃/R₄
Schuifdraadbrug: R/R_x = l/(100 − l)
Thévenin-weerstand: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
K-factor: ΔR/R = GF·ε
Uitgang van de brug: kwart V_s·GF·ε/4, half V_s·GF·ε/2, vol V_s·GF·ε
Kleine verandering, één arm: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Spanning: σ = E·ε

Methode

Behandel de brug als twee spanningsdelers over dezelfde voeding.
Stel voor evenwicht R₁/R₂ = R₃/R₄ en los op voor de onbekende weerstand.
Bepaal voor een onevenwichtige brug V_a en V_b uit de delers en trek ze af; gebruik het Thévenin-equivalent als een meter de uitgang belast.
Reken voor rekstrookjes de rek om naar ΔR/R = GF·ε en gebruik V_s·GF·ε/4, /2 of ×1 voor een kwart-, halve of volle brug.

Data-acquisitie en bemonstering

Nyquistcriterium: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Aliasfrequentie: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Stapgrootte: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Kwantisatiefout (afronding): ±½ LSB
Afkappende ADC-code: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits voor een resolutie r: 2ᴺ ≥ span/r
Ideale SQNR, volle-schaal sinus: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Datasnelheid: kanalen × f_s × N bit/s
Gemultiplexte ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits per byte; bytes/s = baud/bits per frame
Baudrate-deler: baud = f_clk/(16·D)

Methode

Schrijf op wat gegeven is: bemonsteringsfrequentie, signaalfrequenties, aantal bits, ingangsbereik, baudrate.
Vergelijk bij bemonsteringsvragen elke frequentie met f_s/2; een hogere frequentie verschijnt bij f_a = |f − k·f_s| met het dichtstbijzijnde veelvoud van f_s.
Bepaal bij resolutievragen 1 LSB = V_FSR/2ᴺ, of de kleinste N met 2ᴺ ≥ bereik/resolutie.
Tel bij datasnelheden en UART-verbindingen alles wat wordt verzonden: kanalen, samples per seconde, bits of hele bytes per sample, en de start-, pariteits- en stopbits van elk frame.

Opampschakelingen

Inverterende versterker: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Niet-inverterende versterker: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Sommeerversterker: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Ideale opamp: V₊ = V₋, I_in = 0

Serie- en parallelweerstanden

Weerstanden in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Weerstanden parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Twee parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Wet van Ohm: V = I·R
Vermogen: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Begin aan het uiteinde van het netwerk dat het verst van de klemmen ligt.
Combineer weerstanden in serie door ze op te tellen, en weerstanden parallel met 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Teken de schakeling na elke stap opnieuw.
Herhaal tot er één weerstand tussen de klemmen over is.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Brug van Wheatstone en rekstrookjesGemiddeld

Een brug heeft vier armen van 300 Ω en V_s = 3 V. De sensor R₂ neemt toe met ΔR = 3 Ω. Bepaal met de benadering voor kleine veranderingen de uitgang V_ab in mV.

V_s = 3 VR = 300 ΩΔR = 3 Ω

V_ab = mV

2.Brug van Wheatstone en rekstrookjesMoeilijk

Een rekstrookje (GF = 2) op een constructiedeel met E = 210 GPa vormt een kwartbrug die wordt bekrachtigd met 3 V. De uitgang geeft 2,25 mV. Bepaal de axiale spanning σ in MPa.

V_s = 3 VGF = 2V_o = 2,25 mVE = 210 GPa

σ = MPa

3.Data-acquisitie en bemonsteringGemiddeld

Een sinus van 27,5 kHz wordt zonder anti-aliasingfilter bemonsterd met 50 kHz. Bij welke frequentie f_a verschijnt hij in de samples? Geef het antwoord in kHz.

f = 27,5 kHzf_s = 50 kHz

f_a = kHz

4.Data-acquisitie en bemonsteringMoeilijk

Een blokgolf van 2,2 kHz wordt zonder anti-aliasingfilter bemonsterd met 10 kHz. Een blokgolf bevat de oneven harmonischen 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Bij welke frequentie f_a verschijnt zijn harmonische 3f₁ in de bemonsterde data? Geef het antwoord in kHz.

f₁ = 2,2 kHzf_s = 10 kHzharmonische: 3f₁

f_a = kHz

5.OpampschakelingenGemiddeld

Kies de terugkoppelweerstand R_f die deze niet-inverterende versterker een spanningsversterking van 2 geeft.

R₁ = 22 kΩA_v = 2

R_f = kΩ

6.OpampschakelingenMoeilijk

De sommeerversterker gebruikt een ideale opamp met een voeding van ±15 V. Vind de uitgangsspanning V_out.

V₁ = 0,9 VV₂ = −0,8 VR₁ = 100 kΩR₂ = 22 kΩR_f = 22 kΩ

V_out = V

7.Serie- en parallelweerstandenGemiddeld

Vind de vervangingsweerstand R_eq die de bron V₁ ziet.

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

8.Serie- en parallelweerstandenMoeilijk

Vind de stroom I_R1 die de bron levert, en die door R₁ loopt.

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 3 Ω

I_R1 = A

9.Thévenin en NortonGemiddeld

Vind de Thévenin-weerstand R_th gezien vanaf de klemmen a–b.

V₁ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 Ω

R_th = Ω

10.Thévenin en NortonMoeilijk

Vind de Norton-stroom I_N: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.

V₁ = 5 VI_s = 3 AR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 25 Ω

I_N = A

3Oplossingen

1.Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Antwoord: V_ab = 7,5 mV

Brug van Wheatstone: twee spanningsdelers delen één voeding V_s. De linker deler R₁–R₂ geeft V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) en de rechter deler R₃–R₄ geeft V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); de uitgang is V_ab = V_a − V_b. De brug is in evenwicht (V_ab = 0, geen stroom in de meter) als R₁/R₂ = R₃/R₄, dat wil zeggen R₁·R₄ = R₂·R₃. Vanaf de uitgang gezien is de brug een Thévenin-bron met R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Relatieve verandering

ΔR/R = 3/300 = 0,01

Gelineariseerde uitgang

V_ab ≈ 3·0,01/4 = 7,5 mV

Antwoord

V_ab = 7,5 mV

De exacte waarde is 7,463 mV; de benadering is goed zolang ΔR/R klein is.

2.Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Antwoord: σ = 315 MPa

Rekstrookjes: een rekstrookje verandert zijn weerstand met de rek: ΔR/R = GF·ε, waarbij de k-factor GF ongeveer 2 is voor metaalfolie. In een brug met alle armen gelijk aan R geeft één actief rekstrookje (kwartbrug) V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Twee actieve rekstrookjes met tegengestelde rek in naburige armen (halve brug) geven V_s·GF·ε/2, en vier (volle brug) geven V_s·GF·ε. De spanning volgt uit de wet van Hooke, σ = E·ε. Weegcellen geven hun gevoeligheid op in mV/V: de uitgang bij volle belasting per volt bekrachtiging.

Rek

ε = 4·0,00225/(3·2) = 0,0015

Spanning

σ = 210·10³ MPa·0,0015 = 315 MPa

Antwoord

σ = 315 MPa

3.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_a = 22,5 kHz

Bemonstering: een ADC meet het signaal f_s keer per seconde. Volgens het Nyquist–Shannon-theorema wordt een frequentie f alleen correct vastgelegd zolang f < f_s/2, de Nyquistfrequentie (vouwfrequentie), dus de bemonsteringsfrequentie moet groter zijn dan twee keer de hoogste signaalfrequentie. Een hogere frequentie gaat niet verloren: ze verschijnt als alias bij f_a = |f − k·f_s|, met het hele getal k dat het resultaat tussen 0 en f_s/2 brengt. De samples kunnen de twee niet uit elkaar houden, dus een analoog anti-aliasingfilter moet alles boven f_s/2 verwijderen vóór de ADC.

Nyquistfrequentie

f_s/2 = 25 kHz < f = 27,5 kHz

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

k = round(27,5/50) = 1

Aliasfrequentie

f_a = |27,5 − 1·50| = 22,5 kHz

Antwoord

f_a = 22,5 kHz

De gestippelde kromme in de figuur is de alias: ze loopt door precies dezelfde samples.

4.Data-acquisitie en bemonstering

Antwoord: f_a = 3,4 kHz

Frequentie van de harmonische

3f₁ = 3·2,2 kHz = 6,6 kHz

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

m = round(0,66) = 1

Aliasfrequentie

f_a = |6,6 − 1·10| = 3,4 kHz

Antwoord

f_a = 3,4 kHz

De alias komt binnen de signaalband terecht, waar geen digitaal filter hem kan verwijderen. Alleen een analoog filter vóór de ADC helpt.

5.Opampschakelingen

Antwoord: R_f = 22 kΩ

Regels voor de ideale opamp: met tegenkoppeling stuurt de opamp zijn uitgang zo dat beide ingangen op dezelfde spanning staan (V₋ = V₊), en er loopt geen stroom in een van de ingangen. De stroomwet in de inverterende ingang met deze twee feiten geeft de uitgang.

Versterking van een niet-inverterende versterker

V₋ = V₊ = V_in, en de stroom door R₁ loopt ook door R_f, dus V_out = V_in·(1 + R_f/R₁).

A_v = 1 + R_f/R₁

R_f = (2 − 1)·22 = 22 kΩ

Antwoord

R_f = 22 kΩ

6.Opampschakelingen

Antwoord: V_out = 0,602 V

Ingangsstromen

V₋ = 0, dus over elke ingangsweerstand staat zijn volledige ingangsspanning.

I₁ = V₁/R₁ = 0,9/100 = 0,009 mA

I₂ = V₂/R₂ = −0,8/22 = −0,03636 mA

I_f = I₁ + I₂ = −0,02736 mA

Uitgangsspanning

V_out = −R_f·I_f = −22·(−0,02736) = 0,602 V

Antwoord

V_out = 0,602 V

7.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: R_eq = 8,667 Ω

Serie- en parallelschakeling: in serie loopt dezelfde stroom door elke weerstand en R = R₁ + R₂ + …. Parallel staat over elke weerstand dezelfde spanning en 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Een laddernetwerk wordt paar voor paar vereenvoudigd tot er één vervangingsweerstand overblijft.

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₃ + R₄ = 5 + 10 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 12·15/(12+15) = 6,667 Ω

R_eq = R₁ + 6,667 = 2 + 6,667 = 8,667 Ω

Antwoord

R_eq = 8,667 Ω

8.Serie- en parallelweerstanden

Antwoord: I_R1 = 1,953 A

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Begin bij het uiteinde dat het verst van de bron ligt en werk terug naar de bron. Weerstanden met dezelfde stroom staan in serie; weerstanden tussen dezelfde twee knooppunten staan parallel.

R₅ + R₆ = 2 + 3 = 5 Ω

R₄ ∥ 5 = 3,333 Ω

R₃ + 3,333 = 8,333 Ω

R₂ ∥ 8,333 = 5,357 Ω

R_eq = R₁ + 5,357 = 10 + 5,357 = 15,36 Ω

Stroom uit de bron

De bron ziet alleen R_eq, dus de wet van Ohm geeft de stroom die hij levert. Die stroom loopt door R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/15,36 = 1,953 A

Antwoord

I_R1 = 1,953 A

9.Thévenin en Norton

Antwoord: R_th = 11,6 Ω

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 8·2/(8+2) = 1,6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,6 + 10 = 11,6 Ω

10.Thévenin en Norton

Antwoord: I_N = −2,938 A

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 6·3/(6+3) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 25 = 27 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 1,667 + (−3)·2 = −4,333 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −4,333 + (−3)·25 = −79,33 V

Norton-equivalent

Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.

I_N = V_th/R_th = −79,33/27 = −2,938 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

Meet- en regeltechniek voor metingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Brug van Wheatstone en rekstrookjes

Methode

Data-acquisitie en bemonstering

Methode

Opampschakelingen

Serie- en parallelweerstanden

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Relatieve verandering

Gelineariseerde uitgang

Antwoord

Rek

Spanning

Antwoord

Nyquistfrequentie

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

Aliasfrequentie

Antwoord

Frequentie van de harmonische

Dichtstbijzijnde veelvoud van de bemonsteringsfrequentie

Aliasfrequentie

Antwoord

Versterking van een niet-inverterende versterker

Antwoord

Ingangsstromen

Uitgangsspanning

Antwoord

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Antwoord

Combineer weerstanden vanaf het verste uiteinde

Stroom uit de bron

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Norton-equivalent

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning