Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning
σ = F/A
Rek
ε = ΔL/L
Wet van Hooke
σ = E·ε
Verlenging
ΔL = FL/(EA)
Thermische rek
εT = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning
τ = T·r/J
Massieve as
J = πd⁴/32
Holle as
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek
φ = TL/(GJ)
Vermogen
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
  2. Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
  3. Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
  4. Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
  2. Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
  3. Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
  4. Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt
C = (σx + σy)/2
Straal
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hoofdspanningen
σ1,2 = C ± R
Hoofdrichting
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Schuin vlak
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
  4. Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden
δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten
δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast
δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting
δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie
δ = δ1 + δ2

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld
Ø 20 mmAluminium2 mP = 50 kN

Vind de verlenging δ van de staaf van aluminium onder de axiale belasting.

P = 50 kNd = 20 mmL = 2 mE = 70 GPa
δ = mm
2.Axiale spanning en rekMoeilijk
Ø 40 mmAluminium2 mØ 12 mmStaal0,5 mP = 40 kN

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σmax in de staaf.

P = 40 kNdeel 1: Ø40 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø12 mm, 0,5 m, staal (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.Torsie van assenGemiddeld
T = 400 N·md = 25 mmL = 1,5 mφ = ?

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 400 N·md = 25 mmL = 1,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsie van assenMoeilijk
do​ = ?100 kW, 1800 rpm

Een holle as moet 100 kW overbrengen bij 1800 rpm. De binnendiameter moet 0,7 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 40 MPa. Vind de kleinste buitendiameter do.

P = 100 kWN = 1800 rpmdi/do = 0,7τallow = 40 MPa
do = mm
5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
P1​ = 55 kNP2​ = 80 kNABC2,5 m1,5 m1 m

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P1 tussen de opleggingen en een puntlast P2 in C. Vind de dwarskracht Vx net links van oplegging B. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mP1 = 55 kN op 2,5 mP2 = 80 kN op 5 mopleggingen bij x = 0 en x = 4 m
Vx = kN
6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
40 kN25 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

40 kN @ 6 m25 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
150 mm150 mm97,5 mmØ50xIx​ = ?

Een plaat van 150 mm × 150 mm heeft een rond gat met een diameter van 50 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 97,5 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment Ix om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 150 mmh = 150 mmd = 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 97,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
2401010010xopbuigend Mafmetingen in mm

Een gietijzeren balk heeft het getekende T-profiel, met de flens boven. De toelaatbare spanningen zijn 30 MPa op trek en 120 MPa op druk. Vind het grootste opbuigende (hogging) moment Mallow dat de balk kan dragen (geef de grootte).

bf = 240 mmtf = 10 mmtw = 10 mmhw = 100 mmσt,allow = 30 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m
9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
σx​ = 50σy​ = 20MPaτxy​ = ?

In een punt is σₓ = 50 MPa en σᵧ = 20 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τxy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 100 MPa bereikt?

σx = 50 MPaσy = 20 MPaσ1 = 100 MPa
τxy = MPa
10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
σx​τxy​bovenoppervlak van de as

Een massieve as met diameter 60 mm draagt een buigend moment van 1000 N·m samen met een wringend moment van 2000 N·m. Aan het bovenoppervlak, waar de buigspanning trek is en het grootst, vind de maximale schuifspanning in het vlak τmax.

d = 60 mmM = 1000 N·mT = 2000 N·m
τmax = MPa
11.Doorbuiging van de balkGemiddeld
w = 20 kN/mABθ3 m

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de hoekverdraaiing θA van de balk bij oplegging A, in radialen.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Doorbuiging van de balkMoeilijk
P = 23 kNABδ5 m1 m

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op b = 1 m vanaf oplegging B. Vind de doorbuiging δmid in het midden.

P = 23 kNb = 1 mL = 6 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 1,5 m25 × 50 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.Knik van kolommenMoeilijk
P = 65 kNL = 6 md = ?doorsnede

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 65 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 65 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (staal)
d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 4,547 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 50·1000/314,2 = 159,2 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 159,2/70000 = 0,002274 = 2274 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,002274·2000 mm = 4,547 mm

Antwoord

δ = 4,547 mm
2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σmax = 353,7 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 31,83 MPa
σ2 = 353,7 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σmax = 353,7 MPa

Antwoord

σmax = 353,7 MPa
3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 22,99 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1500/(39000·38350) = 0,4012 rad
φ = 0,4012·180/π = 22,99°

Antwoord

φ = 22,99°
4.Torsie van assen

Antwoord: do = 44,63 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 530,5 N·m = 530516 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·530516/(π·40·0,7599)) = 44,63 mm
di = 0,7·44,63 = 31,24 mm

Antwoord

do = 44,63 mm

Een massieve as zou d = 40,73 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: Vx = −54,38 kN

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk. De last op het overstek levert ook een moment om A.

ΣMA = 0: RB·4 = 55·2,5 + 80·5
RB = 537,5/4 = 134,4 kN
ΣFy = 0: RA = 135 − 134,4 = 0,625 kN

Snede net links van B, houd het linkerdeel over

Vx = RA − P1 = 0,625 − 55 = −54,38 kN

Antwoord

Vx = −54,38 kN
6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: F (x = 5 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R1 = 12 kN, R2 = 53 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

MA = 0, MB = 12, MC = −1, MD = −14, ME = −27, MF = −40 kN·m, MG = 0

Antwoord

Markering F: MF = −40 kN·m
7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: Ix = 40,79 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft Ic = bh³/12 en een cirkel Ic = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (22500·75 − 1963·97,5)/(22500 − 1963) = 72,85 mm

Volle plaat om ȳ

150·150³/12 + 22500·2,151² = 42,29 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·50⁴/64 + 1963·24,65² = 1,5 × 10⁶ mm⁴

Trek af

Ix = 40,79 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

Ix = 40,79 × 10⁶ mm⁴
8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: Mallow = 4,038 kN·m

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Zwaartepunt

ȳ = (2400·105 + 1000·50)/3400 = 88,82 mm
bovenrand: c = 110 − 88,82 = 21,18 mm

Traagheidsmoment

I = 240·10³/12 + 2400·16,18² + 10·100³/12 + 1000·38,82² = 2,989 × 10⁶ mm⁴

Toelaatbaar moment per rand

Opbuigend: de bovenkant staat op trek, de onderkant op druk.

bovenrand: M = 30·2,989 × 10⁶/21,18 = 4,234 kN·m
onderrand: M = 120·2,989 × 10⁶/88,82 = 4,038 kN·m

Maatgevende waarde

Mallow = min = 4,038 kN·m (onderrand)

Antwoord

Mallow = 4,038 kN·m
9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τxy = 63,25 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Benodigde straal

C = (50 + 20)/2 = 35 MPa
R = σ1 − C = 100 − 35 = 65 MPa
στxyCσ1​σ2​

Schuifspanning

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 15²) = 63,25 MPa

Antwoord

τxy = 63,25 MPa
10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τmax = 52,72 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Spanningen aan het oppervlak

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·60³) = 47,16 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·60³) = 47,16 MPa
στxyCτmax​

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 23,58 MPa
R = √(23,58² + 47,16²) = 52,72 MPa

Antwoord

τmax = 52,72 MPa
11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: θA = 0,03782 rad

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). De hoekverdraaiing θ = dv/dx is de eerste integraal van M/(EI); in consistente eenheden komt die uit in radialen.

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 3000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Eindhoekverdraaiing

θA = wL³/(24EI) = 20·3000³/(24·5,95 × 10¹¹) = 0,03782 rad

Antwoord

θA = 0,03782 rad

Dat is 2,167°.

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δmid = 53,93 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 23000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging in het midden

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 23000·1000·(3·6000² − 4·1000²)/(48·9,24 × 10¹¹) = 53,93 mm

Antwoord

δmid = 53,93 mm
13.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 19,99 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/1500² = 19991 N = 19,99 kN

Antwoord

Pcr = 19,99 kN
14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 124,7 mm

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Benodigde kritieke belasting

Pcr = n·P = 2,5·65000 = 162500 N
KL = 2·6000 = 12000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 124,7 mm

Antwoord

d = 124,7 mm

Controle: de slankheid KL/r is 385, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials