Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van staal, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 200 MPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 50 mm, E = 120 GPa, toelaatbare spanning 80 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPabuis: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal met een lengte van 0,8 m draagt een wringend moment van 2000 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 1,5°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 2000 N·mL = 0,8 mG = 80 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing met diameter 20 mm is aan beide uiteinden A en B ingeklemd in starre wanden. Een wringend moment van 750 N·m werkt in C, op 0,8 m van A en 1 m van B. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

d = 20 mmT₀ = 750 N·ma = 0,8 mb = 1 m

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mw = 2 kN/m van 0 tot 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 4 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mP = 15 kN op 4 mw = 3 kN/m van 0 tot 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 100 mm breed en 10 mm dik, een totale hoogte van 460 mm en een lijf van 10 mm dik. Vind het elastische weerstandsmoment S_x voor buiging om de horizontale zwaartepuntsas x.

B = 100 mmH = 460 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 150 mm × 200 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 60 mm breed en 30 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 140 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 150 mmh = 200 mmuitsparing: 60 × 30 mmmiddelpunt van het gat: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 80 MPa en σᵧ = −40 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τ_xy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 125 MPa bereikt?

σ_x = 80 MPaσ_y = −40 MPaσ₁ = 125 MPa

τ_xy = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 70 MPa, σᵧ = 20 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 40° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 70 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger met lengte L is ingeklemd in A en draagt een puntlast P op een afstand a = 3,5 m vanaf A. Vind de doorbuiging δ_P onder de last.

P = 5 kNa = 3,5 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 75 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 1 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 75 mm

h_req = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 125 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 125 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 1910 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 30·1000/78,54 = 382 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 382/200000 = 0,00191 = 1910 µε

Antwoord

ε = 1910 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 412,6 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·3063 = 6,189 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,001, 0,0006667) = 0,0006667 (koper)

Grootste belasting

P_max = 0,0006667·6,189 × 10⁸ = 412596 N = 412,6 kN

Antwoord

P_max = 412,6 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 52,82 mm

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·800/(80000·0,02618) = 763944 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 52,82 mm

Antwoord

d = 52,82 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 265,3 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω. Als beide uiteinden zijn ingeklemd, geeft de statica alleen T_A + T_B = T₀; de tweede vergelijking is de vormveranderingsvoorwaarde (gelijke wringhoek van beide delen bij de belaste doorsnede).

Evenwicht en vormveranderingsvoorwaarde

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·1/1,8 = 416,7 N·m

T_B = 750·0,8/1,8 = 333,3 N·m

Maximale schuifspanning

Het grootste van de twee momenten is maatgevend (zelfde diameter).

τ_max = 16·416667/(π·20³) = 265,3 MPa

Antwoord

τ_max = 265,3 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 5,25 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2,5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

Snijd bij x = 1,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 5·1,5 − 2·1,5·0,75 = 5,25 kN·m

Antwoord

M_x = 5,25 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 18 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·4 + 3·5·2,5

R_B = 97,5/5 = 19,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 19,5 = 10,5 kN

Snijd bij x = 4 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 10,5·4 − 3·4·2 = 18 kN·m

Antwoord

M_x = 18 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: S_x = 748,9 × 10³ mm³

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 460 − 2·10 = 440 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·460³ − 90·440³)/12

I_x = 1,723 × 10⁸ mm⁴

Weerstandsmoment

c = H/2 = 230 mm

S_x = I/c = 1,723 × 10⁸/230

S_x = 748928 mm³ = 748,9 × 10³ mm³

Antwoord

S_x = 748,9 × 10³ mm³

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 96,8 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (30000·100 − 1800·140)/(30000 − 1800) = 97,45 mm

Volle plaat om ȳ

150·200³/12 + 30000·2,553² = 100,2 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

60·30³/12 + 1800·42,55² = 3,394 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 96,8 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 96,8 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_xy = 86,17 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Benodigde straal

C = (80 + (−40))/2 = 20 MPa

R = σ₁ − C = 125 − 20 = 105 MPa

Schuifspanning

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(105² − 60²) = 86,17 MPa

Antwoord

τ_xy = 86,17 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 19,8 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 45 + 25·0,1736 + −30·0,9848 = 19,8 MPa

Antwoord

σ_θ = 19,8 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_P = 12,15 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 5000 N, a = 3500 mm, L = 6000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging onder de last

δ_P = Pa³/(3EI) = 5000·3500³/(3·5,88 × 10¹²) = 12,15 mm

Antwoord

δ_P = 12,15 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 204,3 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·5000⁴/(384·11000·13,89) = 5,327 × 10⁷ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·5,327 × 10⁷/75)^1/3 = 204,3 mm

Antwoord

h_req = 204,3 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 82,25 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1250² = 82247 N = 82,25 kN

Antwoord

P_cr = 82,25 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 45,45 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·125000 = 375000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 45,45 mm

Antwoord

d = 45,45 mm

Controle: de slankheid KL/r is 92,41, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials