Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van koper (diameter 60 mm, lengte 300 mm, E = 120 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,25 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 120 kNdeel 1: Ø40 mm, 0,5 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø12 mm, 0,5 m, messing (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing met een lengte van 0,5 m draagt een wringend moment van 250 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 0,5°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 250 N·mL = 0,5 mG = 39 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 10 kW overbrengen bij 1500 rpm. De binnendiameter moet 0,75 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 75 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 10 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 50 kN·m op x = 2,5 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net links van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mM₀ = 50 kN·m rechtsom, op 2,5 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

60 kN @ 12 m50 kN @ 2 m5 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 20 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 280 mmM = 20 kN·m

σ_onder = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 100 MPa, σᵧ = 80 MPa en τₓᵧ = 10 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 100 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 600 mm en wanddikte 12 mm bevat gas met een overdruk van 2 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 50° met de as van de cilinder. Vind de normaalspanning σ_n die dwars op de lasnaad werkt.

D = 600 mmt = 12 mmp = 2 MPaα = 50°

σ_n = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 20 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (staal)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 15 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (staal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 140 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 140 kNn = 3L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 76,42 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·2827) = 8,842 × 10⁻⁷ mm/N

Belasting

P = 0,25/3,272 × 10⁻⁶ = 76417 N = 76,42 kN

Antwoord

P = 76,42 kN

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 1061 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 95,49 MPa

σ₂ = 1061 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 1061 MPa

Antwoord

σ_max = 1061 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 43,98 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·500/(39000·0,008727) = 367281 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 43,98 mm

Antwoord

d = 43,98 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 18,49 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·63662/(π·75·0,6836)) = 18,49 mm

d_i = 0,75·18,49 = 13,87 mm

Antwoord

d_o = 18,49 mm

Een massieve as zou d = 16,29 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −20,83 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 50/6 = 8,333 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −8,333 kN (omlaag)

Snede net links van het koppel

Het linkerdeel bevat alleen R_A.

M_x = R_A·a = −8,333·2,5 = −20,83 kN·m

Antwoord

M_x = −20,83 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: F (x = 10 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 53 kN, R₂ = 107 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 96, M_C = 72, M_D = 28, M_E = −36, M_F = −120 kN·m, M_G = 0

Antwoord

Markering F: M_F = −120 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 6,571 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127,5 mm

lijf: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·127,5 + 1920·60)/3720 = 92,66 mm

Stelling van Steiner

flens: 120·15³/12 + 1800·(127,5 − 92,66)² = 2,218 × 10⁶ mm⁴

lijf: 16·120³/12 + 1920·(60 − 92,66)² = 4,352 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,218 × 10⁶ + 4,352 × 10⁶ = 6,571 × 10⁶ mm⁴ = 6,571 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 6,571 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 97,87 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

lijf: A_w = 8·280 = 2240 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·290 + 2240·140)/7440 = 244,8 mm

Stelling van Steiner

flens: 260·20³/12 + 5200·(290 − 244,8)² = 1,078 × 10⁷ mm⁴

lijf: 8·280³/12 + 2240·(140 − 244,8)² = 3,925 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,078 × 10⁷ + 3,925 × 10⁷ = 5,003 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 244,8 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·244,8/5,003 × 10⁷ = 97,87 MPa

Antwoord

σ_onder = 97,87 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = 22,5 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, 100 − 80) = 45°

Hoek op het element

θ_p = 22,5°

Antwoord

θ_p = 22,5°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_n = 35,33 MPa

Spanningen in de wand

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 2·300/12 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σ_a) en y in omtreksrichting (σ_h). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

σ_n = 25·sin²50° + 50·cos²50° = 35,33 MPa

Antwoord

σ_n = 35,33 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 14,06 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·6000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 14,06 mm

Antwoord

δ_max = 14,06 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 180 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·8000⁴/(384·200000·22,22) = 1,8 × 10⁸ mm⁴

I_req = 180 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 180 × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 3,312 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2000² = 3312 N = 3,312 kN

Antwoord

P_cr = 3,312 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 83,89 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·140000 = 420000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 83,89 mm

Antwoord

d = 83,89 mm

Controle: de slankheid KL/r is 95,36, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials