Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van aluminium onder de axiale belasting.

P = 30 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 30 mm, lengte 400 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 60 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 400 N·md = 20 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 15 kW overbrengen bij 1000 rpm. De binnendiameter moet 0,7 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 50 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 15 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 2 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P₁ tussen de opleggingen en een puntlast P₂ in C. Vind de dwarskracht V_x net links van oplegging B. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 10 mP₁ = 50 kN op 5 mP₂ = 30 kN op 10 mopleggingen bij x = 0 en x = 8 m

V_x = kN

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 8 mw = 12 kN/m van 4 tot 7 m

M_max = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een U-profiel ligt met de open kant naar boven: een bodemplaat van 100 mm breed met twee opstaande benen, 200 mm hoog in totaal. Bodem en benen zijn allemaal 12 mm dik. Vind de hoogte ȳ van het zwaartepunt boven de onderrand.

b = 100 mmh = 200 mmt = 12 mm

ȳ = mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 30 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mmM = 30 kN·m

σ_boven = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −40 MPa, σᵧ = 40 MPa en τₓᵧ = 20 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = −40 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 160 MPa, σᵧ = −80 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 45° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 160 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de hoekverdraaiing θ_A van de balk bij oplegging A, in radialen.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 120 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een ingeklemde ligger is ingeklemd in A en vrij opgelegd (gesteund) in B. Hij draagt een puntlast P in het midden. EI is constant. Vind de grootte van het buigend moment M_A bij de inklemming.

L = 6 mP = 20 kN op 3 m

M_A = kN·m

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 50 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 50 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,4365 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 30·1000/490,9 = 61,12 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 61,12/70000 = 0,0008731 = 873,1 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,0008731·500 mm = 0,4365 mm

Antwoord

δ = 0,4365 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 22,08 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 100000·706,9/400 = 176715 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 60000·176715/679369 = 15607 N

Spanning

σ₂ = 15607/706,9 = 22,08 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 22,08 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 18,24 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(80000·15708) = 0,3183 rad

φ = 0,3183·180/π = 18,24°

Antwoord

φ = 18,24°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 26,78 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 143,2 N·m = 143239 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·143239/(π·50·0,7599)) = 26,78 mm

d_i = 0,7·26,78 = 18,74 mm

Antwoord

d_o = 26,78 mm

Een massieve as zou d = 24,44 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: V_x = −38,75 kN

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk. De last op het overstek levert ook een moment om A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·5 + 30·10

R_B = 550/8 = 68,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 68,75 = 11,25 kN

Snede net links van B, houd het linkerdeel over

V_x = R_A − P₁ = 11,25 − 50 = −38,75 kN

Antwoord

V_x = −38,75 kN

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 50,27 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, aangrijpend op x̄ = 5,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·3·5,5

R_B = 198/8 = 24,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 24,75 = 11,25 kN

Dwarskracht nul

De dwarskracht begint bij R_A, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.

R_A − w·(x₀ − 4) = 0

x₀ = 4 + 11,25/12 = 4,938 m

Maximaal moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 4)²/2 = 11,25·4,938 − 12·0,9375²/2 = 50,27 kN·m

Antwoord

M_max = 50,27 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: ȳ = 84,99 mm

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in rechthoeken

Neem de bodem over de volle breedte en de twee benen daarboven (hoogte h − t), zodat niets dubbel geteld wordt.

basis: A₁ = 100·12 = 1200 mm², y₁ = 6 mm

twee benen: A₂ = 2·12·188 = 4512 mm², y₂ = 12 + 188/2 = 106 mm

Zwaartepunt

ȳ = (1200·6 + 4512·106)/5712 = 84,99 mm

Antwoord

ȳ = 84,99 mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 58,5 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

lijf: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·210 + 2400·100)/6400 = 168,8 mm

Stelling van Steiner

flens: 200·20³/12 + 4000·(210 − 168,8)² = 6,94 × 10⁶ mm⁴

lijf: 12·200³/12 + 2400·(100 − 168,8)² = 1,934 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,94 × 10⁶ + 1,934 × 10⁷ = 2,628 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 220 − 168,8 = 51,25 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·51,25/2,628 × 10⁷ = 58,5 MPa

Antwoord

σ_boven = 58,5 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 44,72 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((−40 − 40)/2)² + 20²) = 44,72 MPa

Antwoord

τ_max = 44,72 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 90 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 40 + 120·0 + 50·1 = 90 MPa

Antwoord

σ_θ = 90 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: θ_A = 0,0303 rad

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). De hoekverdraaiing θ = dv/dx is de eerste integraal van M/(EI); in consistente eenheden komt die uit in radialen.

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Eindhoekverdraaiing

θ_A = wL³/(24EI) = 15·4000³/(24·1,32 × 10¹²) = 0,0303 rad

Antwoord

θ_A = 0,0303 rad

Dat is 1,736°.

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: M_A = 22,5 kN·m

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). Haal bij een statisch onbepaalde balk een overtollige oplegging weg en eis dat de doorbuiging daar nul is (vormveranderingsvoorwaarde).

Haal de steunoplegging weg

Zonder de steunoplegging is de balk een uitkragende ligger. Het vrije uiteinde zou onder de belasting doorbuigen.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Vormveranderingsvoorwaarde bij de steunoplegging

De steunkracht R_B alleen tilt het vrije uiteinde op met R_BL³/(3EI). De steunoplegging houdt B op nul doorbuiging, dus de twee moeten elkaar opheffen. EI valt weg.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·20/16 = 6,25 kN

Moment bij de inklemming

Momenten om A van de belastingen en de steunkracht.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 60 − 37,5 = 22,5 kN·m

Antwoord

M_A = 22,5 kN·m

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 5,888 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1500² = 5888 N = 5,888 kN

Antwoord

P_cr = 5,888 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 43,2 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·50000 = 150000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 43,2 mm

Antwoord

d = 43,2 mm

Controle: de slankheid KL/r is 138,9, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials