Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van messing onder de axiale belasting.

P = 95 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 250 MPa) zit in een buis van brons (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 60 mm, E = 110 GPa, toelaatbare spanning 80 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPabuis: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal met een lengte van 1,2 m draagt een wringend moment van 200 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 0,5°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 200 N·mL = 1,2 mG = 80 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing met diameter 25 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 100 N·m werkt in B, op 1,5 m van A, en een wringend moment van 100 N·m in dezelfde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 2 m verder. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

d = 25 mmT_B = 100 N·mT_C = 100 N·mAB = 1,5 mBC = 2 m

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 6,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mw = 5 kN/m van 0 tot 8 mx = 6,5 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 2 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind het maximale doorbuigende (sagging) moment M_max tussen de opleggingen.

L = 7 mw = 5 kN/m van 0 tot 7 mopleggingen bij x = 0 en x = 5 m

M_max = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 100 mm × 200 mm heeft een rond gat met een diameter van 60 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 130 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mmmiddelpunt van het gat: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 30 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mmM = 30 kN·m

σ_onder = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 30 MPa, σᵧ = 100 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 30 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 50 MPa, σᵧ = 10 MPa en τₓᵧ = 20 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 30° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 50 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P aan het vrije uiteinde. Vind met superpositie de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

P = 7 kNw = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (staal)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (staal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 70 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 70 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 4,2 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 95·1000/113,1 = 840 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 840/100000 = 0,0084 = 8400 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,0084·500 mm = 4,2 mm

Antwoord

δ = 4,2 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 247,3 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·2199 = 3,401 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,00125, 0,0007273) = 0,0007273 (brons)

Grootste belasting

P_max = 0,0007273·3,401 × 10⁸ = 247329 N = 247,3 kN

Antwoord

P_max = 247,3 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 43,26 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·1200/(80000·0,008727) = 343775 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 43,26 mm

Antwoord

d = 43,26 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 65,19 MPa

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C + T_B = 100 + 100 = 200 N·m

Maximale schuifspanning

Het deel met het grootste inwendige wringend moment heeft de grootste spanning (zelfde diameter).

|T|_max = 200 N·m

τ_max = 16·200000/(π·25³) = 65,19 MPa

Antwoord

τ_max = 65,19 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 24,38 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·8·4

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Snijd bij x = 6,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 20·6,5 − 5·6,5·3,25 = 24,38 kN·m

Antwoord

M_x = 24,38 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 11,03 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 5·7 = 35 kN, aangrijpend op x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·7·3,5

R_B = 122,5/5 = 24,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 24,5 = 10,5 kN

Dwarskracht nul

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 10,5/5 = 2,1 m

Maximaal doorbuigend moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 10,5²/(2·5) = 11,03 kN·m

Antwoord

M_max = 11,03 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 63,07 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (20000·100 − 2827·130)/(20000 − 2827) = 95,06 mm

Volle plaat om ȳ

100·200³/12 + 20000·4,939² = 67,15 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·60⁴/64 + 2827·34,94² = 4,088 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 63,07 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 63,07 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 119,1 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

lijf: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·210 + 4000·100)/9200 = 162,2 mm

Stelling van Steiner

flens: 260·20³/12 + 5200·(210 − 162,2)² = 1,207 × 10⁷ mm⁴

lijf: 20·200³/12 + 4000·(100 − 162,2)² = 2,88 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,207 × 10⁷ + 2,88 × 10⁷ = 4,086 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 162,2 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·162,2/4,086 × 10⁷ = 119,1 MPa

Antwoord

σ_onder = 119,1 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = 69,7 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 30 − 100) = 139,4°

Hoek op het element

θ_p = 69,7°

Antwoord

θ_p = 69,7°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 57,32 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 30 + 20·0,5 + 20·0,866 = 57,32 MPa

Antwoord

σ_θ = 57,32 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 56,25 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 7000 N, w = 8 N/mm, L = 6000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(3EI) = 7000·6000³/(3·3,2 × 10¹³) = 15,75 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 8·6000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 40,5 mm

Tel ze op

δ = 15,75 + 40,5 = 56,25 mm

Antwoord

δ = 56,25 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 20,25 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·6000⁴/(384·200000·16,67) = 2,025 × 10⁷ mm⁴

I_req = 20,25 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 20,25 × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 34,33 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1050² = 34331 N = 34,33 kN

Antwoord

P_cr = 34,33 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 120,1 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 120,1 mm

Antwoord

d = 120,1 mm

Controle: de slankheid KL/r is 399,7, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials