Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van staal onder de axiale belasting.

P = 65 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 65 kNdeel 1: Ø25 mm, 1,5 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø12 mm, 2 m, messing (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van messing (buitendiameter 60 mm, binnendiameter 42 mm, lengte 0,5 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 750 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 750 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal met diameter 20 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 200 N·m werkt in B, op 2,5 m van A, en een wringend moment van 250 N·m in tegengestelde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 1,5 m verder. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

d = 20 mmT_B = 200 N·mT_C = 250 N·mAB = 2,5 mBC = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 0,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 10 mw = 6 kN/m van 0 tot 10 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning en een puntlast P. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 6 mP = 60 kN op 2 mw = 5 kN/m van 0 tot 6 m

M_max = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gietijzeren balk heeft het getekende T-profiel, met de flens boven. De toelaatbare spanningen zijn 35 MPa op trek en 90 MPa op druk. Vind het grootste doorbuigende (sagging) moment M_allow dat de balk kan dragen.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 80 MPa en σᵧ = −60 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τ_xy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 115 MPa bereikt?

σ_x = 80 MPaσ_y = −60 MPaσ₁ = 115 MPa

τ_xy = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 50 mm draagt een axiale drukkracht van 110 kN samen met een wringend moment van 500 N·m. Aan het oppervlak van de as, vind de grootste hoofdspanning σ₁.

d = 50 mmF = −110 kNT = 500 N·m

σ₁ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de hoekverdraaiing θ_A van de balk bij oplegging A, in radialen.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (staal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 2,586 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 65·1000/314,2 = 206,9 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 206,9/200000 = 0,001035 = 1035 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,001035·2500 mm = 2,586 mm

Antwoord

δ = 2,586 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 574,7 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 132,4 MPa

σ₂ = 574,7 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 574,7 MPa

Antwoord

σ_max = 574,7 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,5698 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Wringhoek

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·500/(39000·966855) = 0,009945 rad

φ = 0,009945·180/π = 0,5698°

Antwoord

φ = 0,5698°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 159,2 MPa

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 200 = 50 N·m

Maximale schuifspanning

Het deel met het grootste inwendige wringend moment heeft de grootste spanning (zelfde diameter).

|T|_max = 250 N·m

τ_max = 16·250000/(π·20³) = 159,2 MPa

Antwoord

τ_max = 159,2 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 14,25 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, aangrijpend op x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Snijd bij x = 0,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 30·0,5 − 6·0,5·0,25 = 14,25 kN·m

Antwoord

M_x = 14,25 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 100 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·2 + 5·6·3

R_B = 210/6 = 35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 35 = 55 kN

Waar is V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 45 kN

V(2⁺) = 45 − 60 = −15 kN

De dwarskracht wisselt van teken bij de last, dus het maximum ligt onder de last.

Maximaal moment

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 55·2 − 5·2²/2 = 100 kN·m

Antwoord

M_max = 100 kN·m

Dat is op x = 2 m vanaf A.

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 42,24 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292,5 mm

lijf: A_w = 8·280 = 2240 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·292,5 + 2240·140)/4740 = 220,4 mm

Stelling van Steiner

flens: 100·25³/12 + 2500·(292,5 − 220,4)² = 1,311 × 10⁷ mm⁴

lijf: 8·280³/12 + 2240·(140 − 220,4)² = 2,913 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,311 × 10⁷ + 2,913 × 10⁷ = 4,224 × 10⁷ mm⁴ = 42,24 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 42,24 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: M_allow = 1,662 kN·m

Zwaartepunt

ȳ = (7200·115 + 1000·50)/8200 = 107,1 mm

bovenrand: c = 130 − 107,1 = 22,93 mm

Traagheidsmoment

I = 240·30³/12 + 7200·7,927² + 10·100³/12 + 1000·57,07² = 5,083 × 10⁶ mm⁴

Toelaatbaar moment per rand

Doorbuigend: de bovenkant staat op druk, de onderkant op trek.

bovenrand: M = 90·5,083 × 10⁶/22,93 = 19,95 kN·m

onderrand: M = 35·5,083 × 10⁶/107,1 = 1,662 kN·m

Maatgevende waarde

M_allow = min = 1,662 kN·m (onderrand)

Antwoord

M_allow = 1,662 kN·m

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_xy = 78,26 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Benodigde straal

C = (80 + (−60))/2 = 10 MPa

R = σ₁ − C = 115 − 10 = 105 MPa

Schuifspanning

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(105² − 70²) = 78,26 MPa

Antwoord

τ_xy = 78,26 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ₁ = 6,625 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = F/A = −110000/(π·50²/4) = −110000/1963 = −56,02 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·50³) = 20,37 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = −28,01 MPa

R = √((−28,01)² + 20,37²) = 34,64 MPa

σ₁ = C + R = 6,625 MPa

σ₂ = C − R = −62,65 MPa

Antwoord

σ₁ = 6,625 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: θ_A = 0,004153 rad

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). De hoekverdraaiing θ = dv/dx is de eerste integraal van M/(EI); in consistente eenheden komt die uit in radialen.

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Eindhoekverdraaiing

θ_A = wL³/(24EI) = 4·2500³/(24·6,27 × 10¹¹) = 0,004153 rad

Antwoord

θ_A = 0,004153 rad

Dat is 0,238°.

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 5,859 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·5000⁴/(384·200000·13,89) = 5,859 × 10⁶ mm⁴

I_req = 5,859 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 5,859 × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 3,008 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/3500² = 3008 N = 3,008 kN

Antwoord

P_cr = 3,008 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 49,35 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/15 = 200

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Antwoord

σ_cr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials