Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van messing, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 110 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 20 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 160 MPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 70 mm, E = 120 GPa, toelaatbare spanning 60 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPabuis: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 400 N·md = 30 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van aluminium brengt 50 kW over bij 1450 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 40 MPa en de wringhoek niet groter dan 1° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 50 kWN = 1450 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

35 kN @ 4 m20 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning en een puntlast P. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 5 mP = 65 kN op 3 mw = 2 kN/m van 0 tot 5 m

M_max = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 100 mm × 300 mm heeft een rond gat met een diameter van 50 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 180 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 100 mmh = 300 mmd = 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 10 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 300 mmM = 10 kN·m

σ_onder = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 140 MPa, σᵧ = 100 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 140 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 1000 mm en wanddikte 12 mm bevat gas met een overdruk van 2,5 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 50° met de as van de cilinder. Vind de grootte van de schuifspanning |τ_n| die langs de lasnaad werkt.

D = 1000 mmt = 12 mmp = 2,5 MPaα = 50°

|τ_n| = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P aan het vrije uiteinde. Vind met superpositie de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

P = 13 kNw = 8 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 100 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/300. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 3 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 100 mm

h_req = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 1556 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 110·1000/706,9 = 155,6 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 155,6/100000 = 0,001556 = 1556 µε

Antwoord

ε = 1556 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 479,1 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·7461 = 9,582 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,0008, 0,0005) = 0,0005 (koper)

Grootste belasting

P_max = 0,0005·9,582 × 10⁸ = 479093 N = 479,1 kN

Antwoord

P_max = 479,1 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 11,08 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(26000·79522) = 0,1935 rad

φ = 0,1935·180/π = 11,08°

Antwoord

φ = 11,08°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 52,14 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Diameter op sterkte

T = 329,3 N·m = 329286 N·mm

d_τ = ∛(16·329286/(π·40)) = 34,74 mm

Diameter op stijfheid

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·329286/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 52,14 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(34,74, 52,14) = 52,14 mm

Antwoord

d = 52,14 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: C (x = 4 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 26,67 kN, R₂ = 28,33 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 53,33, M_C = 106,7 kN·m, M_D = 90, M_E = 73,33, M_F = 56,67, M_G = 0

Antwoord

Markering C: M_C = 106,7 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 84 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 65·3 + 2·5·2,5

R_B = 220/5 = 44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 44 = 31 kN

Waar is V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 25 kN

V(3⁺) = 25 − 65 = −40 kN

De dwarskracht wisselt van teken bij de last, dus het maximum ligt onder de last.

Maximaal moment

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 31·3 − 2·3²/2 = 84 kN·m

Antwoord

M_max = 84 kN·m

Dat is op x = 3 m vanaf A.

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 222,8 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (30000·150 − 1963·180)/(30000 − 1963) = 147,9 mm

Volle plaat om ȳ

100·300³/12 + 30000·2,101² = 225,1 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·50⁴/64 + 1963·32,1² = 2,33 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 222,8 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 222,8 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 51,61 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

lijf: A_w = 8·300 = 2400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·305 + 2400·150)/4000 = 212 mm

Stelling van Steiner

flens: 160·10³/12 + 1600·(305 − 212)² = 1,385 × 10⁷ mm⁴

lijf: 8·300³/12 + 2400·(150 − 212)² = 2,723 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,385 × 10⁷ + 2,723 × 10⁷ = 4,108 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 212 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·212/4,108 × 10⁷ = 51,61 MPa

Antwoord

σ_onder = 51,61 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 44,72 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((140 − 100)/2)² + 40²) = 44,72 MPa

Antwoord

τ_max = 44,72 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: |τ_n| = 25,65 MPa

Spanningen in de wand

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 2,5·500/12 = 104,2 MPa

σ_a = pr/(2t) = 52,08 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σ_a) en y in omtreksrichting (σ_h). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

|τ_n| = (104,2 − 52,08)·sin 50°·cos 50° = 25,65 MPa

Antwoord

|τ_n| = 25,65 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 20,11 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 13000 N, w = 8 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(3EI) = 13000·2000³/(3·2,52 × 10¹²) = 13,76 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 8·2000⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 6,349 mm

Tel ze op

δ = 13,76 + 6,349 = 20,11 mm

Antwoord

δ = 20,11 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 251,9 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/300 = 5000/300 = 16,67 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·5000⁴/(384·11000·16,67) = 1,332 × 10⁸ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·1,332 × 10⁸/100)^1/3 = 251,9 mm

Antwoord

h_req = 251,9 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 93,25 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/4200² = 93250 N = 93,25 kN

Antwoord

P_cr = 93,25 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 12,34 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/6,25 = 400

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Antwoord

σ_cr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials