Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van koper, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 10 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 160 MPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 60 mm, E = 100 GPa, toelaatbare spanning 80 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPabuis: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van messing brengt 5 kW over bij 1000 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 75 MPa en de wringhoek niet groter dan 0,25° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 5 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind de dwarskracht V_x in de doorsnede x = 1,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mw = 2 kN/m van 0 tot 8 mx = 1,5 m

V_x = kN

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 10 mP = 15 kN op 1 mw = 12 kN/m van 0 tot 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 120 mm × 240 mm heeft een rond gat met een diameter van 30 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 144 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 240 mmd = 30 mmmiddelpunt van het gat: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 120 × 22 mm, een lijf van 250 mm hoog en 8 mm dik, en een onderflens van 250 × 12 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bovenflens: 120 × 22 mmlijf: 8 × 250 mmonderflens: 250 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = −40 MPa en σᵧ = 30 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τ_xy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 90 MPa bereikt?

σ_x = −40 MPaσ_y = 30 MPaσ₁ = 90 MPa

τ_xy = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 350 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Von Mises (vormveranderingsenergie).

σ_x = 60 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P aan het vrije uiteinde. Vind met superpositie de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

P = 8 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (staal)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 6 kNw = 15 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 4897 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 45·1000/78,54 = 573 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 573/117000 = 0,004897 = 4897 µε

Antwoord

ε = 4897 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 377 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·2199 = 4,712 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,0008, 0,0008) = 0,0008 (messing)

Grootste belasting

P_max = 0,0008·4,712 × 10⁸ = 376991 N = 377 kN

Antwoord

P_max = 377 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 22,17 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(39000·79522) = 0,3869 rad

φ = 0,3869·180/π = 22,17°

Antwoord

φ = 22,17°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 41,12 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 5000/104,7 = 47,75 N·m

Diameter op sterkte

T = 47,75 N·m = 47746 N·mm

d_τ = ∛(16·47746/(π·75)) = 14,8 mm

Diameter op stijfheid

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·47746/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 41,12 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(14,8, 41,12) = 41,12 mm

Antwoord

d = 41,12 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: V_x = 5 kN

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Snijd bij x = 1,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

V = R_A − (alle neerwaartse belastingen links van de snede)

V_x = 8 − 2·1,5 = 5 kN

Antwoord

V_x = 5 kN

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 67,5 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, aangrijpend op x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·1 + 12·10·5

R_B = 615/10 = 61,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 61,5 = 73,5 kN

Snijd bij x = 1 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 73,5·1 − 12·1·0,5 = 67,5 kN·m

Antwoord

M_x = 67,5 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 137,8 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (28800·120 − 706,9·144)/(28800 − 706,9) = 119,4 mm

Volle plaat om ȳ

120·240³/12 + 28800·0,6039² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·24,6² = 0,4677 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 137,8 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 137,8 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 110,7 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in drie rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

bovenflens: A = 2640 mm², y = 273 mm

lijf: A = 2000 mm², y = 137 mm

onderflens: A = 3000 mm², y = 6 mm

Zwaartepunt

ȳ = (2640·273 + 2000·137 + 3000·6)/7640 = 132,6 mm

Stelling van Steiner

bovenflens: 120·22³/12 + 2640·140,4² = 5,218 × 10⁷ mm⁴

lijf: 8·250³/12 + 2000·4,445² = 1,046 × 10⁷ mm⁴

onderflens: 250·12³/12 + 3000·126,6² = 4,808 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,218 × 10⁷ + 1,046 × 10⁷ + 4,808 × 10⁷

I_x = 1,107 × 10⁸ mm⁴ = 110,7 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 110,7 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_xy = 88,32 MPa

Benodigde straal

C = (−40 + 30)/2 = −5 MPa

R = σ₁ − C = 90 − (−5) = 95 MPa

Schuifspanning

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 35²) = 88,32 MPa

Antwoord

τ_xy = 88,32 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 2,381

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 90 MPa, R = 67,08 MPa

σ₁ = 157,1 MPa, σ₂ = 22,92 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(157,1² − 157,1·22,92 + 22,92²) = 147 MPa

n = 350/147 = 2,381

Antwoord

n = 2,381

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 7,246 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 8000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(3EI) = 8000·2000³/(3·4,6 × 10¹²) = 4,638 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·4,6 × 10¹²) = 2,609 mm

Tel ze op

δ = 4,638 + 2,609 = 7,246 mm

Antwoord

δ = 7,246 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 3,803 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 6000 N, w = 15 N/mm, L = 2500 mm, EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(48EI) = 6000·2500³/(48·2,52 × 10¹²) = 0,775 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 3,028 mm

Tel ze op

δ_max = 0,775 + 3,028 = 3,803 mm

Antwoord

δ_max = 3,803 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 63,97 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/3000² = 63970 N = 63,97 kN

Antwoord

P_cr = 63,97 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 49,35 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/6,25 = 200

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Antwoord

σ_cr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials