Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van aluminium, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 55 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 150 MPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 70 mm, E = 120 GPa, toelaatbare spanning 60 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPabuis: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 250 N·md = 50 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 100 kW over bij 750 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 100 kWN = 750 rpmd_o = 60 mmd_i = 36 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind de dwarskracht V_x in de doorsnede x = 3,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 10 mw = 2 kN/m van 0 tot 10 mx = 3,5 m

V_x = kN

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

15 kN @ 0 m60 kN @ 12 m45 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een U-profiel ligt met de open kant naar boven: een bodemplaat van 120 mm breed met twee opstaande benen, 100 mm hoog in totaal. Bodem en benen zijn allemaal 8 mm dik. Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 100 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 200 × 22 mm, een lijf van 390 mm hoog en 12 mm dik, en een onderflens van 150 × 16 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bovenflens: 200 × 22 mmlijf: 12 × 390 mmonderflens: 150 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 40 MPa, σᵧ = 60 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 40 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 1500 mm en wanddikte 15 mm bevat gas met een overdruk van 1,5 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 50° met de as van de cilinder. Vind de grootte van de schuifspanning |τ_n| die langs de lasnaad werkt.

D = 1500 mmt = 15 mmp = 1,5 MPaα = 50°

|τ_n| = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op a = 4 m vanaf oplegging A. Vind de doorbuiging δ_P onder de last.

P = 18 kNa = 4 mL = 6 mE = 200 GPa (staal)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een ingeklemde ligger is ingeklemd in A en vrij opgelegd (gesteund) in B. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. EI is constant. Vind de grootte van het buigend moment M_A bij de inklemming.

L = 3 mw = 8 kN/m

M_A = kN·m

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 10 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 10 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 2501 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 55·1000/314,2 = 175,1 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 175,1/70000 = 0,002501 = 2501 µε

Antwoord

ε = 2501 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 311 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·4006 = 6,22 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,00075, 0,0005) = 0,0005 (koper)

Grootste belasting

P_max = 0,0005·6,22 × 10⁸ = 311018 N = 311 kN

Antwoord

P_max = 311 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,4489 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(26000·613592) = 0,007835 rad

φ = 0,007835·180/π = 0,4489°

Antwoord

φ = 0,4489°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 34,49 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,273 × 10⁶·30/1,107 × 10⁶ = 34,49 MPa

Antwoord

τ_max = 34,49 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: V_x = 3 kN

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, aangrijpend op x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Snijd bij x = 3,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

V = R_A − (alle neerwaartse belastingen links van de snede)

V_x = 10 − 2·3,5 = 3 kN

Antwoord

V_x = 3 kN

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: E (x = 8 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 10 kN, R₂ = 110 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = −40, M_D = −140, M_E = −240 kN·m, M_F = −120, M_G = 0

Antwoord

Markering E: M_E = −240 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 2,496 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in rechthoeken

Neem de bodem over de volle breedte en de twee benen daarboven (hoogte h − t), zodat niets dubbel geteld wordt.

basis: A₁ = 120·8 = 960 mm², y₁ = 4 mm

twee benen: A₂ = 2·8·92 = 1472 mm², y₂ = 8 + 92/2 = 54 mm

Zwaartepunt

ȳ = (960·4 + 1472·54)/2432 = 34,26 mm

Stelling van Steiner

basis: 120·8³/12 + 960·(4 − 34,26)² = 884344 mm⁴

twee benen: 2·8·92³/12 + 1472·(54 − 34,26)² = 1,612 × 10⁶ mm⁴

I_x = 884344 + 1,612 × 10⁶

I_x = 2,496 × 10⁶ mm⁴ = 2,496 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 2,496 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 329,9 × 10⁶ mm⁴

Verdeel in drie rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

bovenflens: A = 4400 mm², y = 417 mm

lijf: A = 4680 mm², y = 211 mm

onderflens: A = 2400 mm², y = 8 mm

Zwaartepunt

ȳ = (4400·417 + 4680·211 + 2400·8)/11480 = 247,5 mm

Stelling van Steiner

bovenflens: 200·22³/12 + 4400·169,5² = 1,266 × 10⁸ mm⁴

lijf: 12·390³/12 + 4680·36,52² = 6,556 × 10⁷ mm⁴

onderflens: 150·16³/12 + 2400·239,5² = 1,377 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,266 × 10⁸ + 6,556 × 10⁷ + 1,377 × 10⁸

I_x = 3,299 × 10⁸ mm⁴ = 329,9 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 329,9 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 50,99 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((40 − 60)/2)² + −50²) = 50,99 MPa

Antwoord

τ_max = 50,99 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: |τ_n| = 18,47 MPa

Spanningen in de wand

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1,5·750/15 = 75 MPa

σ_a = pr/(2t) = 37,5 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σ_a) en y in omtreksrichting (σ_h). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

|τ_n| = (75 − 37,5)·sin 50°·cos 50° = 18,47 MPa

Antwoord

|τ_n| = 18,47 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_P = 26,67 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 18000 N, a = 4000 mm, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging onder de last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 18000·4000²·2000²/(3·2,4 × 10¹²·6000) = 26,67 mm

Antwoord

δ_P = 26,67 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: M_A = 9 kN·m

Haal de steunoplegging weg

Zonder de steunoplegging is de balk een uitkragende ligger. Het vrije uiteinde zou onder de belasting doorbuigen.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Vormveranderingsvoorwaarde bij de steunoplegging

De steunkracht R_B alleen tilt het vrije uiteinde op met R_BL³/(3EI). De steunoplegging houdt B op nul doorbuiging, dus de twee moeten elkaar opheffen. EI valt weg.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·3/8 = 9 kN

Moment bij de inklemming

Momenten om A van de belastingen en de steunkracht.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 36 − 27 = 9 kN·m

Antwoord

M_A = 9 kN·m

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 84,22 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·2500 = 2500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/2500² = 84221 N = 84,22 kN

Antwoord

P_cr = 84,22 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 31,21 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·10000 = 30000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 31,21 mm

Antwoord

d = 31,21 mm

Controle: de slankheid KL/r is 224,3, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials