Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van staal onder de axiale belasting.

P = 120 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 105 kNdeel 1: Ø30 mm, 1 m, messing (E = 100 GPa)deel 2: Ø12 mm, 1 m, koper (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 250 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 100 kW over bij 1000 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 100 kWN = 1000 rpmd_o = 75 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 2 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P₁ tussen de opleggingen en een puntlast P₂ in C. Vind het buigend moment M_x onder de last P₁. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mP₁ = 35 kN op 4,5 mP₂ = 15 kN op 8 mopleggingen bij x = 0 en x = 6 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 6 mw = 4 kN/m van 0 tot 2 m

M_max = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 200 mm × 200 mm heeft een rond gat met een diameter van 50 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 120 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 200 mmh = 200 mmd = 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 160 mm breed en 24 mm dik, een totale hoogte van 460 mm en een lijf van 14 mm dik. Het draagt een buigend moment van 120 kN·m om de as x. Vind de grootte van de maximale buigspanning σ_max in de doorsnede.

B = 160 mmH = 460 mmt_f = 24 mmt_w = 14 mmM = 120 kN·m

σ_max = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = −30 MPa, σᵧ = 110 MPa en τₓᵧ = 20 MPa (trek positief). Het element wordt 35° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = −30 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 100 MPa en τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 275 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Von Mises (vormveranderingsenergie).

σ_x = 30 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. Vind de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (staal)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 23 kNw = 6 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 3,82 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 120·1000/78,54 = 1528 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1528/200000 = 0,007639 = 7639 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,007639·500 mm = 3,82 mm

Antwoord

δ = 3,82 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 928,4 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 148,5 MPa

σ₂ = 928,4 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 928,4 MPa

Antwoord

σ_max = 928,4 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 3,695 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(39000·79522) = 0,06449 rad

φ = 0,06449·180/π = 3,695°

Antwoord

φ = 3,695°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 13,24 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·37,5/2,704 × 10⁶ = 13,24 MPa

Antwoord

τ_max = 13,24 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 16,88 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk. De last op het overstek levert ook een moment om A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·4,5 + 15·8

R_B = 277,5/6 = 46,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 46,25 = 3,75 kN

Snede onder P₁, houd het linkerdeel over

M_x = R_A·4,5 = 3,75·4,5 = 16,88 kN·m

Antwoord

M_x = 16,88 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 5,556 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, aangrijpend op x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·2·1

R_B = 8/6 = 1,333 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 1,333 = 6,667 kN

Dwarskracht nul

De dwarskracht begint bij R_A, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 6,667/4 = 1,667 m

Maximaal moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 6,667·1,667 − 4·1,667²/2 = 5,556 kN·m

Antwoord

M_max = 5,556 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 132,2 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (40000·100 − 1963·120)/(40000 − 1963) = 98,97 mm

Volle plaat om ȳ

200·200³/12 + 40000·1,032² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·50⁴/64 + 1963·21,03² = 1,175 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 132,2 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 132,2 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_max = 61,75 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 460 − 2·24 = 412 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·460³ − 146·412³)/12

I_x = 4,469 × 10⁸ mm⁴

Buigspanning

y = 230 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·230/4,469 × 10⁸ = 61,75 MPa

Antwoord

σ_max = 61,75 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 45,15 MPa

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 40 − (−70)·0,342 − 20·0,9397 = 45,15 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = 34,85 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 80 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 45,15 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 3,037

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 65 MPa, R = 36,4 MPa

σ₁ = 101,4 MPa, σ₂ = 28,6 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(101,4² − 101,4·28,6 + 28,6²) = 90,55 MPa

n = 275/90,55 = 3,037

Antwoord

n = 3,037

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 2,531 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging

δ = wL⁴/(8EI) = 6·3000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 2,531 mm

Antwoord

δ = 2,531 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 10,95 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 23000 N, w = 6 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(48EI) = 23000·3000³/(48·1,76 × 10¹²) = 7,351 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 3,596 mm

Tel ze op

δ_max = 7,351 + 3,596 = 10,95 mm

Antwoord

δ_max = 10,95 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 347,3 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2000² = 347270 N = 347,3 kN

Antwoord

P_cr = 347,3 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 35,25 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/10 = 140

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Antwoord

σ_cr = 35,25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Sterkteleer: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Torsie van assen

Methode

Dwarskracht en buigend moment

Methode

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Methode

Doorbuiging van de balk

Knik van kolommen

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Spanning

Rek (wet van Hooke)

Verlenging

Antwoord

Dezelfde kracht in beide delen

Grootste spanning

Antwoord

Polair traagheidsmoment

Wringhoek

Antwoord

Koppel

Polair traagheidsmoment

Maximale schuifspanning

Antwoord

Oplegreacties

Snede onder P1, houd het linkerdeel over

Antwoord

Oplegreacties

Dwarskracht nul

Maximaal moment

Antwoord

Zwaartepunt

Volle plaat om ȳ

Gat om ȳ

Trek af

Antwoord

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Buigspanning

Antwoord

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

Controle

Antwoord

Hoofdspanningen

Von Mises

Antwoord

Consistente eenheden

Doorbuiging

Antwoord

Consistente eenheden

Elke belasting afzonderlijk

Tel ze op

Antwoord

Kleinste traagheidsmoment

Kniklengte

Kritieke belasting

Antwoord

Kleinste traagheidsmoment

Traagheidsstraal en slankheid

Kritieke spanning

Antwoord

Snede onder P₁, houd het linkerdeel over