Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van aluminium onder de axiale belasting.

P = 80 kNd = 12 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 300 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 30 mm, lengte 200 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 80 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Bij een torsieproef wordt een massief proefstuk met diameter 12 mm getordeerd door een wringend moment van 40 N·m. De twee uiteinden van een meetlengte van 300 mm verdraaien 4,22° ten opzichte van elkaar (het materiaal is nog elastisch). Vind de glijdingsmodulus G van het materiaal.

T = 40 N·md = 12 mmL = 300 mmφ = 4,22°

G = GPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van aluminium met diameter 50 mm is aan beide uiteinden A en B ingeklemd in starre wanden. Een wringend moment van 750 N·m werkt in C, op 1,5 m van A en 2 m van B. Vind het reactiemoment T_A bij wand A.

d = 50 mmT₀ = 750 N·ma = 1,5 mb = 2 m

T_A = N·m

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 3 m vanaf A. Vind het buigend moment M_A bij de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mP = 45 kN op 3 mw = 6 kN/m van 0 tot 5 m

M_A = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

25 kN @ 0 m45 kN @ 6 m30 kN @ 2 m10 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 160 mm breed en 20 mm dik, een totale hoogte van 240 mm en een lijf van 12 mm dik. Vind het elastische weerstandsmoment S_x voor buiging om de horizontale zwaartepuntsas x.

B = 160 mmH = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 110 × 10 mm, een lijf van 280 mm hoog en 14 mm dik, en een onderflens van 260 × 14 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bovenflens: 110 × 10 mmlijf: 14 × 280 mmonderflens: 260 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 80 MPa en τₓᵧ = −40 MPa, met σ_z = 0. Vind de absoluut maximale schuifspanning τ_abs in het punt (alle vlakken in drie dimensies bekeken).

σ_x = 140 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −10 MPa, σᵧ = −70 MPa en τₓᵧ = −10 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 25° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = −10 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op a = 3,5 m vanaf oplegging A. Vind de doorbuiging δ_P onder de last.

P = 3 kNa = 3,5 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 100 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/300. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 1,5 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 100 mm

h_req = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (staal)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 20,21 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 80·1000/113,1 = 707,4 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 707,4/70000 = 0,01011 = 10105 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,01011·2000 mm = 20,21 mm

Antwoord

δ = 20,21 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 58,76 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 100000·706,9/200 = 353429 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 80000·353429/680678 = 41538 N

Spanning

σ₂ = 41538/706,9 = 58,76 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 58,76 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: G = 80,03 GPa

Polair traagheidsmoment en hoek

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 4,22·π/180 = 0,07365 rad

Glijdingsmodulus

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·300/(2036·0,07365) = 80033 MPa

G = 80,03 GPa

Antwoord

G = 80,03 GPa

Ter vergelijking: staal ≈ 80 GPa, messing ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsie van assen

Antwoord: T_A = 428,6 N·m

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω. Als beide uiteinden zijn ingeklemd, geeft de statica alleen T_A + T_B = T₀; de tweede vergelijking is de vormveranderingsvoorwaarde (gelijke wringhoek van beide delen bij de belaste doorsnede).

Evenwicht en vormveranderingsvoorwaarde

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·2/3,5 = 428,6 N·m

T_B = 750·1,5/3,5 = 321,4 N·m

Antwoord

T_A = 428,6 N·m

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_A = −210 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Houd het deel met het vrije uiteinde over

P: −45·3 = −135 kN·m

w: −6·5²/2 = −75 kN·m

M_A = −135 − 75 = −210 kN·m

Antwoord

M_A = −210 kN·m

Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: E (x = 4 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 38,33 kN, R₂ = 91,67 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = −25, M_C = −16,67, M_D = −48,33, M_E = −90 kN·m, M_F = −45, M_G = 0

Antwoord

Markering E: M_E = −90 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: S_x = 713,8 × 10³ mm³

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 240 − 2·20 = 200 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·240³ − 148·200³)/12

I_x = 8,565 × 10⁷ mm⁴

Weerstandsmoment

c = H/2 = 120 mm

S_x = I/c = 8,565 × 10⁷/120

S_x = 713778 mm³ = 713,8 × 10³ mm³

Antwoord

S_x = 713,8 × 10³ mm³

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 111,2 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in drie rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

bovenflens: A = 1100 mm², y = 299 mm

lijf: A = 3920 mm², y = 154 mm

onderflens: A = 3640 mm², y = 7 mm

Zwaartepunt

ȳ = (1100·299 + 3920·154 + 3640·7)/8660 = 110,6 mm

Stelling van Steiner

bovenflens: 110·10³/12 + 1100·188,4² = 3,904 × 10⁷ mm⁴

lijf: 14·280³/12 + 3920·43,37² = 3,298 × 10⁷ mm⁴

onderflens: 260·14³/12 + 3640·103,6² = 3,915 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,904 × 10⁷ + 3,298 × 10⁷ + 3,915 × 10⁷

I_x = 1,112 × 10⁸ mm⁴ = 111,2 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 111,2 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_abs = 80 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. In drie dimensies is de absoluut maximale schuifspanning (σ_max − σ_min)/2 over alle drie hoofdspanningen; in een vlakke spanningstoestand is de derde nul.

Hoofdspanningen in het vlak

C = 110 MPa, R = √(30² + (−40)²) = 50 MPa

σ₁ = 160 MPa, σ₂ = 60 MPa, σ_z = 0

Grootste van de drie cirkels

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(100, 160, 60)/2 = 80 MPa

Antwoord

τ_abs = 80 MPa

Hier is de cirkel buiten het vlak maatgevend: het absolute maximum is groter dan het maximum in het vlak R.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = −28,38 MPa

Transformatieformule

σ_θ = −40 + 30·0,6428 + −10·0,766 = −28,38 MPa

Antwoord

σ_θ = −28,38 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_P = 1,139 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 3000 N, a = 3500 mm, b = 2500 mm, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging onder de last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 3000·3500²·2500²/(3·1,12 × 10¹³·6000) = 1,139 mm

Antwoord

δ_P = 1,139 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 179,9 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·4500⁴/(384·11000·15) = 4,854 × 10⁷ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·4,854 × 10⁷/100)^1/3 = 179,9 mm

Antwoord

h_req = 179,9 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 4,164 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/8000² = 4164 N = 4,164 kN

Antwoord

P_cr = 4,164 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 8,812 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/7,5 = 280

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Antwoord

σ_cr = 8,812 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials