Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 20 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 70 mm, E = 70 GPa). Beide zijn 500 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 300 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 300 kNstaaf: Ø20 mm, E = 200 GPabuis: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 160 MPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 70 mm, E = 120 GPa, toelaatbare spanning 60 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPabuis: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 100 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 30 kW over bij 1800 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 30 kWN = 1800 rpmd_o = 40 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

15 kN @ 2 m30 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1,5 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind het buigend moment M_B bij oplegging B. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6,5 mw = 3 kN/m van 0 tot 6,5 mopleggingen bij x = 0 en x = 5 m

M_B = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 150 mm × 150 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 50 mm breed en 20 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 105 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 150 mmh = 150 mmuitsparing: 50 × 20 mmmiddelpunt van het gat: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 120 MPa, σᵧ = 10 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Het element wordt 30° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = 120 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 50 mm draagt een axiale trekkracht van 150 kN samen met een wringend moment van 1500 N·m. Aan het oppervlak van de as, vind de grootste hoofdspanning σ₁.

d = 50 mmF = 150 kNT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger met lengte L is ingeklemd in A en draagt een puntlast P op een afstand a = 2 m vanaf A. Vind de doorbuiging δ_B aan het vrije uiteinde B.

P = 12 kNa = 2 mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (staal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 120 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 120 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,2564 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·7461 = 5,851 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 300000·500/5,851 × 10⁸ = 0,2564 mm

Antwoord

δ = 0,2564 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 496,8 kN

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·7461 = 9,935 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,0008, 0,0005) = 0,0005 (koper)

Grootste belasting

P_max = 0,0005·9,935 × 10⁸ = 496764 N = 496,8 kN

Antwoord

P_max = 496,8 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 1,386 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(26000·79522) = 0,02418 rad

φ = 0,02418·180/π = 1,386°

Antwoord

φ = 1,386°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 18,53 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 30000/188,5 = 159,2 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·20/171806 = 18,53 MPa

Antwoord

τ_max = 18,53 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: C (x = 4 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 32,5 kN, R₂ = 12,5 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 65, M_C = 100 kN·m, M_D = 75, M_E = 50, M_F = 25, M_G = 0

Antwoord

Markering C: M_C = 100 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_B = −3,375 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·6,5 = 19,5 kN, aangrijpend op x̄ = 3,25 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·6,5·3,25

R_B = 63,38/5 = 12,68 kN

ΣF_y = 0: R_A = 19,5 − 12,68 = 6,825 kN

Snede bij B, houd het overstek over

De belasting op het overstek, w·a, grijpt aan op a/2 vanaf B en laat de balk boven de oplegging opbuigen.

M_B = −w·a²/2 = −3·1,5²/2 = −3,375 kN·m

Antwoord

M_B = −3,375 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 36,27 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

lijf: A_w = 10·220 = 2200 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·235 + 2200·110)/10000 = 207,5 mm

Stelling van Steiner

flens: 260·30³/12 + 7800·(235 − 207,5)² = 6,484 × 10⁶ mm⁴

lijf: 10·220³/12 + 2200·(110 − 207,5)² = 2,979 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,484 × 10⁶ + 2,979 × 10⁷ = 3,627 × 10⁷ mm⁴ = 36,27 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 36,27 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 41,21 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (22500·75 − 1000·105)/(22500 − 1000) = 73,6 mm

Volle plaat om ȳ

150·150³/12 + 22500·1,395² = 42,23 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

50·20³/12 + 1000·31,4² = 1,019 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 41,21 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 41,21 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = −14,46 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 65 − 55·0,5 − 60·0,866 = −14,46 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = 144,5 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 130 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = −14,46 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ₁ = 110,3 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = F/A = 150000/(π·50²/4) = 150000/1963 = 76,39 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·50³) = 61,12 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 38,2 MPa

R = √(38,2² + 61,12²) = 72,07 MPa

σ₁ = C + R = 110,3 MPa

σ₂ = C − R = −33,87 MPa

Antwoord

σ₁ = 110,3 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_B = 52,38 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 12000 N, a = 2000 mm, L = 2500 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging aan het vrije uiteinde

Doorbuiging bij de last plus de hoekverdraaiing bij de last maal de resterende lengte.

δ_P = Pa³/(3EI) = 38,1 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,02857 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 52,38 mm

Antwoord

δ_B = 52,38 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 1,125 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·2000⁴/(384·200000·5,556) = 1,125 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,125 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 1,125 × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 73,43 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/2800² = 73435 N = 73,43 kN

Antwoord

P_cr = 73,43 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 73,46 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·120000 = 360000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 73,46 mm

Antwoord

d = 73,46 mm

Controle: de slankheid KL/r is 152,5, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials