Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 70 mm, E = 70 GPa). Beide zijn 500 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 50 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 50 kNstaaf: Ø40 mm, E = 200 GPabuis: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 95 kNdeel 1: Ø30 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø16 mm, 0,5 m, staal (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 400 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 50 kW overbrengen bij 1500 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 80 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 50 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt twee puntlasten. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 6 mP₁ = 35 kN op 1 mP₂ = 35 kN op 3 m

M_max = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 10 mP = 50 kN op 1 mw = 4 kN/m van 0 tot 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 200 mm × 300 mm heeft een rond gat met een diameter van 60 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 195 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 200 mmh = 300 mmd = 60 mmmiddelpunt van het gat: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gietijzeren balk heeft het getekende T-profiel, met de flens boven. De toelaatbare spanningen zijn 60 MPa op trek en 90 MPa op druk. Vind het grootste opbuigende (hogging) moment M_allow dat de balk kan dragen (geef de grootte).

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 200 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 40 MPa, σᵧ = −20 MPa en τₓᵧ = 10 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 40 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 800 mm en wanddikte 12 mm bevat gas met een overdruk van 1,2 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 20° met de as van de cilinder. Vind de normaalspanning σ_n die dwars op de lasnaad werkt.

D = 800 mmt = 12 mmp = 1,2 MPaα = 20°

σ_n = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (staal)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 29 kNw = 20 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (staal)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,03232 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·7461 = 7,736 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 50000·500/7,736 × 10⁸ = 0,03232 mm

Antwoord

δ = 0,03232 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 4,061 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 134,4 MPa

σ₂ = 472,5 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 134,4·1500/70000 = 2,88 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 472,5·500/200000 = 1,181 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,061 mm

Antwoord

δ = 4,061 mm

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 2,882 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(80000·79522) = 0,0503 rad

φ = 0,0503·180/π = 2,882°

Antwoord

φ = 2,882°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 27,26 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·80)) = 27,26 mm

Antwoord

d = 27,26 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 70 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·1 + 35·3

R_B = 140/6 = 23,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 23,33 = 46,67 kN

Moment onder elke last

Houd het deel links van elke last over.

onder P₁: M = R_A·1 = 46,67·1 = 46,67 kN·m

onder P₂: M = R_B·3 = 23,33·3 = 70 kN·m

Grootste waarde

M_max = 70 kN·m (onder P₂)

Antwoord

M_max = 70 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 63 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, aangrijpend op x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·1 + 4·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 25 = 65 kN

Snijd bij x = 1 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 65·1 − 4·1·0,5 = 63 kN·m

Antwoord

M_x = 63 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 443,4 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (60000·150 − 2827·195)/(60000 − 2827) = 147,8 mm

Volle plaat om ȳ

200·300³/12 + 60000·2,225² = 450,3 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·60⁴/64 + 2827·47,23² = 6,942 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 443,4 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 443,4 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: M_allow = 14,2 kN·m

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Zwaartepunt

ȳ = (1000·205 + 3600·100)/4600 = 122,8 mm

bovenrand: c = 210 − 122,8 = 87,17 mm

Traagheidsmoment

I = 100·10³/12 + 1000·82,17² + 18·200³/12 + 3600·22,83² = 2,064 × 10⁷ mm⁴

Toelaatbaar moment per rand

Opbuigend: de bovenkant staat op trek, de onderkant op druk.

bovenrand: M = 60·2,064 × 10⁷/87,17 = 14,2 kN·m

onderrand: M = 90·2,064 × 10⁷/122,8 = 15,12 kN·m

Maatgevende waarde

M_allow = min = 14,2 kN·m (bovenrand)

Antwoord

M_allow = 14,2 kN·m

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 31,62 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((40 − −20)/2)² + 10²) = 31,62 MPa

Antwoord

τ_max = 31,62 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_n = 37,66 MPa

Spanningen in de wand

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 1,2·400/12 = 40 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σ_a) en y in omtreksrichting (σ_h). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

σ_n = 20·sin²20° + 40·cos²20° = 37,66 MPa

Antwoord

σ_n = 37,66 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 44,44 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 44,44 mm

Antwoord

δ_max = 44,44 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 9,928 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 29000 N, w = 20 N/mm, L = 5000 mm, EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(48EI) = 29000·5000³/(48·2,4 × 10¹³) = 3,147 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·5000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 6,782 mm

Tel ze op

δ_max = 3,147 + 6,782 = 9,928 mm

Antwoord

δ_max = 9,928 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 16,82 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/6000² = 16822 N = 16,82 kN

Antwoord

P_cr = 16,82 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 7,896 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/10 = 500

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Antwoord

σ_cr = 7,896 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials