Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 70 mm, E = 100 GPa). Beide zijn 600 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 100 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 100 kNstaaf: Ø30 mm, E = 200 GPabuis: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) en een segment van brons (diameter 30 mm, lengte 500 mm, E = 110 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 40 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: brons, Ø30 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal met een lengte van 1,5 m draagt een wringend moment van 500 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 2°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 500 N·mL = 1,5 mG = 80 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 5 kW overbrengen bij 300 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 40 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 5 kWN = 300 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 35 kN·m op x = 3 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net rechts van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 10 mM₀ = 35 kN·m rechtsom, op 3 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mP = 50 kN op 7 mw = 4 kN/m van 0 tot 8 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 50 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mmM = 50 kN·m

σ_boven = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 60 MPa, σᵧ = 90 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 60 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 140 MPa, σᵧ = −70 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 25° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 140 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger met lengte L is ingeklemd in A en draagt een puntlast P op een afstand a = 1 m vanaf A. Vind de doorbuiging δ_B aan het vrije uiteinde B.

P = 4 kNa = 1 mL = 3 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt twee gelijke puntlasten P op de derdepunten (L/3 vanaf elke oplegging). Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 16 kNL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 10 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 10 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,1107 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·4006 = 5,419 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 100000·600/5,419 × 10⁸ = 0,1107 mm

Antwoord

δ = 0,1107 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 20,08 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 110000·706,9/500 = 155509 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 40000·155509/438252 = 14194 N

Spanning

σ₂ = 14194/706,9 = 20,08 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 20,08 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 40,67 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·1500/(80000·0,03491) = 268574 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 40,67 mm

Antwoord

d = 40,67 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 27,26 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·40)) = 27,26 mm

Antwoord

d = 27,26 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 24,5 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 35/10 = 3,5 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −3,5 kN (omlaag)

Snede net rechts van het koppel

Het linkerdeel bevat nu R_A en het koppel.

M_x = R_A·a + M₀ = −3,5·3 + 35 = 24,5 kN·m

Antwoord

M_x = 24,5 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 28,88 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·7 + 4·8·4

R_B = 478/8 = 59,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 82 − 59,75 = 22,25 kN

Snijd bij x = 1,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 22,25·1,5 − 4·1,5·0,75 = 28,88 kN·m

Antwoord

M_x = 28,88 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 47,38 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

lijf: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·230 + 3960·110)/8760 = 175,8 mm

Stelling van Steiner

flens: 240·20³/12 + 4800·(230 − 175,8)² = 1,428 × 10⁷ mm⁴

lijf: 18·220³/12 + 3960·(110 − 175,8)² = 3,309 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,428 × 10⁷ + 3,309 × 10⁷ = 4,738 × 10⁷ mm⁴ = 47,38 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 47,38 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 100,7 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

lijf: A_w = 16·300 = 4800 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·305 + 4800·150)/6200 = 185 mm

Stelling van Steiner

flens: 140·10³/12 + 1400·(305 − 185)² = 2,017 × 10⁷ mm⁴

lijf: 16·300³/12 + 4800·(150 − 185)² = 4,188 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,017 × 10⁷ + 4,188 × 10⁷ = 6,205 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 310 − 185 = 125 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·125/6,205 × 10⁷ = 100,7 MPa

Antwoord

σ_boven = 100,7 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 61,85 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((60 − 90)/2)² + −60²) = 61,85 MPa

Antwoord

τ_max = 61,85 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 71,85 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 35 + 105·0,6428 + −40·0,766 = 71,85 MPa

Antwoord

σ_θ = 71,85 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_B = 3,03 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 4000 N, a = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging aan het vrije uiteinde

Doorbuiging bij de last plus de hoekverdraaiing bij de last maal de resterende lengte.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,7576 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001136 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 3,03 mm

Antwoord

δ_B = 3,03 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 8,451 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 16000 N, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Eén last op L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm

δ₁ = 4,225 mm

Tel beide lasten op

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 8,451 mm

Antwoord

δ_max = 8,451 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 22,49 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/2000² = 22489 N = 22,49 kN

Antwoord

P_cr = 22,49 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 68,58 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·10000 = 30000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 68,58 mm

Antwoord

d = 68,58 mm

Controle: de slankheid KL/r is 291,6, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials