Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van aluminium (diameter 50 mm, lengte 300 mm, E = 70 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,4 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 60 mm, lengte 500 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 30 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as moet een wringend moment van 400 N·m dragen. De binnendiameter moet 0,5 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 75 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

T = 400 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 50 kW over bij 300 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 50 kWN = 300 rpmd_o = 50 mmd_i = 35 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mw = 8 kN/m van 0 tot 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning en een puntlast P. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 4 mP = 80 kN op 1 mw = 8 kN/m van 0 tot 4 m

M_max = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een ronde buis heeft buitendiameter D = 150 mm en binnendiameter d = 118 mm. Vind de traagheidsstraal r om de horizontale zwaartepuntsas.

D = 150 mmd = 118 mm

r = mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 5 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mmM = 5 kN·m

σ_onder = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 110 MPa, σᵧ = 40 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (trek positief). Vind de hoek θ_s, tussen −90° en 90°, van de x-as tot de normaal van het vlak waarop de schuifspanning haar maximale positieve waarde +R heeft (schuifspanning positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 110 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_s = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 80 MPa en τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). Vind de vergelijkingsspanning volgens Von Mises σ_vM.

σ_x = 140 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −30 MPa

σ_vM = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. Vind de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (staal)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een ingeklemde ligger is ingeklemd in A en vrij opgelegd (gesteund) in B. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. EI is constant. Vind de reactie R_B bij de steunoplegging.

L = 4 mw = 4 kN/m

R_B = kN

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (staal)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (staal)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 48,23 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1963) = 2,183 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,4/8,294 × 10⁻⁶ = 48226 N = 48,23 kN

Antwoord

P = 48,23 kN

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 7,49 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 100000·2827/500 = 565487 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 30000·565487/801106 = 21176 N

Spanning

σ₂ = 21176/2827 = 7,49 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 7,49 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 30,71 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 400 N·m = 400000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·75·0,9375)) = 30,71 mm

d_i = 0,5·30,71 = 15,36 mm

Antwoord

d_o = 30,71 mm

Een massieve as zou d = 30,06 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 85,33 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,592 × 10⁶·25/466269 = 85,33 MPa

Antwoord

τ_max = 85,33 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 12 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Snijd bij x = 1 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 16·1 − 8·1·0,5 = 12 kN·m

Antwoord

M_x = 12 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 72 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 80·1 + 8·4·2

R_B = 144/4 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 112 − 36 = 76 kN

Waar is V = 0?

V(1⁻) = R_A − w·1 = 68 kN

V(1⁺) = 68 − 80 = −12 kN

De dwarskracht wisselt van teken bij de last, dus het maximum ligt onder de last.

Maximaal moment

M_max = R_A·1 − w·1²/2 = 76·1 − 8·1²/2 = 72 kN·m

Antwoord

M_max = 72 kN·m

Dat is op x = 1 m vanaf A.

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: r = 47,71 mm

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is. De traagheidsstraal r = √(I/A) is de afstand waarop de hele oppervlakte dezelfde I zou geven; je gebruikt hem bij knik van kolommen.

Netto oppervlakte en traagheidsmoment

A = π(D² − d²)/4 = 6736 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,533 × 10⁷ mm⁴

Traagheidsstraal

r = √(I/A) = √(1,533 × 10⁷/6736) = 47,71 mm

Antwoord

r = 47,71 mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 11 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

lijf: A_w = 20·300 = 6000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·310 + 6000·150)/8400 = 195,7 mm

Stelling van Steiner

flens: 120·20³/12 + 2400·(310 − 195,7)² = 3,143 × 10⁷ mm⁴

lijf: 20·300³/12 + 6000·(150 − 195,7)² = 5,754 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,143 × 10⁷ + 5,754 × 10⁷ = 8,897 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 195,7 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·195,7/8,897 × 10⁷ = 11 MPa

Antwoord

σ_onder = 11 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_s = −65,3 °

Hoek op de cirkel

Op de cirkel van Mohr ligt het bovenste punt (+R) 90° van het hoofdpunt σ₁; op het element is dat 45°.

cos 2θ_s = −30/46,1 = −0,6508, sin 2θ_s = −35/46,1 = −0,7593

2θ_s = atan2(−35, −30) = −130,6°

Hoek op het element

θ_s = −65,3°

controle: θ_s − θ_p = −65,3 − (−20,3) = −45°

Antwoord

θ_s = −65,3°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_vM = 132,3 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 110 MPa, R = 42,43 MPa

σ₁ = 152,4 MPa, σ₂ = 67,57 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(152,4² − 152,4·67,57 + 67,57²) = 132,3 MPa

Antwoord

σ_vM = 132,3 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 8,333 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 8,333 mm

Antwoord

δ = 8,333 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: R_B = 6 kN

Haal de steunoplegging weg

Zonder de steunoplegging is de balk een uitkragende ligger. Het vrije uiteinde zou onder de belasting doorbuigen.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Vormveranderingsvoorwaarde bij de steunoplegging

De steunkracht R_B alleen tilt het vrije uiteinde op met R_BL³/(3EI). De steunoplegging houdt B op nul doorbuiging, dus de twee moeten elkaar opheffen. EI valt weg.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·4/8 = 6 kN

Antwoord

R_B = 6 kN

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 134,3 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/700² = 134280 N = 134,3 kN

Antwoord

P_cr = 134,3 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 17,48 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/12,5 = 336

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/336² = 17,48 MPa

Antwoord

σ_cr = 17,48 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials