Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van aluminium (diameter 50 mm, lengte 400 mm, E = 70 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,5 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) en een segment van brons (diameter 40 mm, lengte 400 mm, E = 110 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 60 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegment 2: brons, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as moet een wringend moment van 1000 N·m dragen. De binnendiameter moet 0,7 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 75 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 20 kW over bij 750 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 20 kWN = 750 rpmd_o = 75 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 15 kN·m op x = 3 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net links van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mM₀ = 15 kN·m rechtsom, op 3 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 3,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mP = 20 kN op 4 mw = 2 kN/m van 0 tot 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 200 mm × 200 mm heeft een rond gat met een diameter van 60 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 80 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 200 mmh = 200 mmd = 60 mmmiddelpunt van het gat: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 220 mm breed en 24 mm dik, een totale hoogte van 380 mm en een lijf van 14 mm dik. Het draagt een buigend moment van 50 kN·m om de as x. Vind de grootte van de buigspanning σ_j bij de overgang van het lijf naar de bovenflens.

B = 220 mmH = 380 mmt_f = 24 mmt_w = 14 mmM = 50 kN·m

σ_j = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 30 MPa en σᵧ = 0 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τ_xy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 55 MPa bereikt?

σ_x = 30 MPaσ_y = 0 MPaσ₁ = 55 MPa

τ_xy = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 30 mm draagt een buigend moment van 500 N·m samen met een wringend moment van 2000 N·m. Aan het bovenoppervlak, waar de buigspanning trek is en het grootst, vind de grootste hoofdspanning σ₁.

d = 30 mmM = 500 N·mT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 2 kNw = 4 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (staal)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 46,01 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·1963) = 2,91 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,5/1,087 × 10⁻⁵ = 46007 N = 46,01 kN

Antwoord

P = 46,01 kN

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 16,94 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 110000·1257/400 = 345575 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 60000·345575/973894 = 21290 N

Spanning

σ₂ = 21290/1257 = 16,94 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 16,94 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 44,71 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·75·0,7599)) = 44,71 mm

d_i = 0,7·44,71 = 31,3 mm

Antwoord

d_o = 44,71 mm

Een massieve as zou d = 40,8 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 3,532 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 254648·37,5/2,704 × 10⁶ = 3,532 MPa

Antwoord

τ_max = 3,532 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −7,5 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 15/6 = 2,5 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −2,5 kN (omlaag)

Snede net links van het koppel

Het linkerdeel bevat alleen R_A.

M_x = R_A·a = −2,5·3 = −7,5 kN·m

Antwoord

M_x = −7,5 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 19,25 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·4 + 2·5·2,5

R_B = 105/5 = 21 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 21 = 9 kN

Snijd bij x = 3,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 9·3,5 − 2·3,5·1,75 = 19,25 kN·m

Antwoord

M_x = 19,25 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 131,5 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (40000·100 − 2827·80)/(40000 − 2827) = 101,5 mm

Volle plaat om ȳ

200·200³/12 + 40000·−1,521² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−21,52² = 1,946 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 131,5 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 131,5 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_j = 21,97 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 380 − 2·24 = 332 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·380³ − 206·332³)/12

I_x = 3,778 × 10⁸ mm⁴

Buigspanning

y = 190 − 24 = 166 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·166/3,778 × 10⁸ = 21,97 MPa

Antwoord

σ_j = 21,97 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_xy = 37,08 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Benodigde straal

C = (30 + 0)/2 = 15 MPa

R = σ₁ − C = 55 − 15 = 40 MPa

Schuifspanning

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(40² − 15²) = 37,08 MPa

Antwoord

τ_xy = 37,08 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ₁ = 483,2 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·30³) = 188,6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·30³) = 377,3 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 94,31 MPa

R = √(94,31² + 377,3²) = 388,9 MPa

σ₁ = C + R = 483,2 MPa

σ₂ = C − R = −294,6 MPa

Antwoord

σ₁ = 483,2 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 79,05 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 79,05 mm

Antwoord

δ_max = 79,05 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 4,611 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 2000 N, w = 4 N/mm, L = 2000 mm, EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(48EI) = 2000·2000³/(48·2,53 × 10¹¹) = 1,318 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 3,294 mm

Tel ze op

δ_max = 1,318 + 3,294 = 4,611 mm

Antwoord

δ_max = 4,611 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 57,12 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1500² = 57116 N = 57,12 kN

Antwoord

P_cr = 57,12 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 77,11 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Antwoord

σ_cr = 77,11 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials