Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van aluminium, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 160 MPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 50 mm, E = 100 GPa, toelaatbare spanning 70 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPabuis: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van aluminium (buitendiameter 60 mm, binnendiameter 42 mm, lengte 0,5 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 500 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 500 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as moet 10 kW overbrengen bij 1800 rpm. De binnendiameter moet 0,5 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 75 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

P = 10 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

30 kN @ 6 m12 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind de afstand x₀ van A tot de doorsnede waar het buigend moment het grootst is.

L = 4 mw = 6 kN/m van 1 tot 3 m

x₀ = m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 140 × 14 mm, een lijf van 370 mm hoog en 14 mm dik, en een onderflens van 170 × 22 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bovenflens: 140 × 14 mmlijf: 14 × 370 mmonderflens: 170 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 130 MPa, σᵧ = −20 MPa en τₓᵧ = 20 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 130 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 10 MPa, σᵧ = 110 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 40° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 10 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op b = 2 m vanaf oplegging B. Vind de doorbuiging δ_mid in het midden.

P = 12 kNb = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (staal)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 5 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 5 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 7460 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 105·1000/201,1 = 522,2 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 522,2/70000 = 0,00746 = 7460 µε

Antwoord

ε = 7460 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 830,2 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·9346 = 1,186 × 10⁹ N

Bepalende rek

ε = min(0,0008, 0,0007) = 0,0007 (messing)

Grootste belasting

P_max = 0,0007·1,186 × 10⁹ = 830166 N = 830,2 kN

Antwoord

P_max = 830,2 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,5698 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Wringhoek

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·500/(26000·966855) = 0,009945 rad

φ = 0,009945·180/π = 0,5698°

Antwoord

φ = 0,5698°

4.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 15,66 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 10000/188,5 = 53,05 N·m

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 53,05 N·m = 53052 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·53052/(π·75·0,9375)) = 15,66 mm

d_i = 0,5·15,66 = 7,832 mm

Antwoord

d_o = 15,66 mm

Een massieve as zou d = 15,33 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: D (x = 6 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 87 kN, R₂ = 87 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 150, M_C = 252, M_D = 306 kN·m, M_E = 252, M_F = 150, M_G = 0

Antwoord

Markering D: M_D = 306 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: x₀ = 2 m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·2·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Dwarskracht nul

De dwarskracht begint bij R_A, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 6/6 = 2 m

Antwoord

x₀ = 2 m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 37,19 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

lijf: A_w = 14·220 = 3080 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·232,5 + 3080·110)/6580 = 175,2 mm

Stelling van Steiner

flens: 140·25³/12 + 3500·(232,5 − 175,2)² = 1,169 × 10⁷ mm⁴

lijf: 14·220³/12 + 3080·(110 − 175,2)² = 2,55 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,169 × 10⁷ + 2,55 × 10⁷ = 3,719 × 10⁷ mm⁴ = 37,19 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 37,19 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 263,5 × 10⁶ mm⁴

Verdeel in drie rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

bovenflens: A = 1960 mm², y = 399 mm

lijf: A = 5180 mm², y = 207 mm

onderflens: A = 3740 mm², y = 11 mm

Zwaartepunt

ȳ = (1960·399 + 5180·207 + 3740·11)/10880 = 174,2 mm

Stelling van Steiner

bovenflens: 140·14³/12 + 1960·224,8² = 9,907 × 10⁷ mm⁴

lijf: 14·370³/12 + 5180·32,79² = 6,466 × 10⁷ mm⁴

onderflens: 170·22³/12 + 3740·163,2² = 9,978 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,907 × 10⁷ + 6,466 × 10⁷ + 9,978 × 10⁷

I_x = 2,635 × 10⁸ mm⁴ = 263,5 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 263,5 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = 7,466 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, 130 − −20) = 14,93°

Hoek op het element

θ_p = 7,466°

Antwoord

θ_p = 7,466°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 110,4 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 60 + −50·0,1736 + 60·0,9848 = 110,4 MPa

Antwoord

σ_θ = 110,4 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 2,093 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 2,093 mm

Antwoord

δ_max = 2,093 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_mid = 1,438 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 12000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging in het midden

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 12000·2000·(3·6000² − 4·2000²)/(48·3,2 × 10¹³) = 1,438 mm

Antwoord

δ_mid = 1,438 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 12,21 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·3000 = 6000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/6000² = 12209 N = 12,21 kN

Antwoord

P_cr = 12,21 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 26,8 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·5000 = 12500 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 26,8 mm

Antwoord

d = 26,8 mm

Controle: de slankheid KL/r is 298,5, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials