Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 60 mm, E = 120 GPa). Beide zijn 600 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 200 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 200 kNstaaf: Ø40 mm, E = 200 GPabuis: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 30 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) en een segment van koper (diameter 50 mm, lengte 300 mm, E = 120 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 50 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van aluminium is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 75 mm en lengte 0,8 m; deel BC heeft diameter 40 mm en lengte 2 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 100 N·m. Vind de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

T = 100 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 40 mm, L₂ = 2 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal met diameter 60 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 2000 N·m werkt in B, op 1,2 m van A, en een wringend moment van 500 N·m in tegengestelde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 0,5 m verder. Vind de grootte van de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

d = 60 mmT_B = 2000 N·mT_C = 500 N·mAB = 1,2 mBC = 0,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Hij draagt een puntlast P₁ tussen de opleggingen en een puntlast P₂ in C. Vind het buigend moment M_B bij oplegging B. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 9 mP₁ = 55 kN op 5 mP₂ = 80 kN op 9 mopleggingen bij x = 0 en x = 8 m

M_B = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning en een puntlast P. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 10 mP = 15 kN op 7 mw = 2 kN/m van 0 tot 10 m

M_max = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 150 mm × 150 mm heeft een rond gat met een diameter van 30 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 97,5 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 150 mmh = 150 mmd = 30 mmmiddelpunt van het gat: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 10 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mmM = 10 kN·m

σ_boven = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 160 MPa, σᵧ = −40 MPa en τₓᵧ = 40 MPa, met σ_z = 0. Vind de absoluut maximale schuifspanning τ_abs in het punt (alle vlakken in drie dimensies bekeken).

σ_x = 160 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −60 MPa, σᵧ = 100 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 20° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = −60 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op a = 2 m vanaf oplegging A. Vind de doorbuiging δ_P onder de last.

P = 21 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (constructiehout)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,1404 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5027 = 8,545 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 200000·600/8,545 × 10⁸ = 0,1404 mm

Antwoord

δ = 0,1404 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 17,56 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 120000·1963/300 = 785398 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 50000·785398/1,139 × 10⁶ = 34483 N

Spanning

σ₂ = 34483/1963 = 17,56 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 17,56 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 1,81 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polaire traagheidsmomenten

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek van elk deel

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 100000·800/(26000·3,106 × 10⁶) = 0,0009905 rad

φ_BC = 100000·2000/(26000·251327) = 0,03061 rad

Totale wringhoek

φ_C = 0,0009905 + 0,03061 = 0,0316 rad = 1,81°

Antwoord

φ_C = 1,81°

4.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 0,8725 °

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 2000 = −1500 N·m

Wringhoek van elk deel

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = −1,5 × 10⁶·1200/(80000·1,272 × 10⁶) = −0,01768 rad

φ_BC = 500000·500/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,002456 rad

Wringhoek van uiteinde C

φ_C = −0,01768 + 0,002456 = −0,01523 rad → |φ_C| = 0,8725°

Antwoord

φ_C = 0,8725°

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_B = −80 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk. De last op het overstek levert ook een moment om A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·5 + 80·9

R_B = 995/8 = 124,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 124,4 = 10,63 kN

Snede bij B, houd het overstek over

Op het overstek werkt alleen P₂, met arm a. Die buigt de balk boven de oplegging omhoog (opbuigend, hogging).

M_B = −P₂·a = −80·1 = −80 kN·m

Antwoord

M_B = −80 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 52,5 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, aangrijpend op x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·7 + 2·10·5

R_B = 205/10 = 20,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 20,5 = 14,5 kN

Waar is V = 0?

V(7⁻) = R_A − w·7 = 0,5 kN

V(7⁺) = 0,5 − 15 = −14,5 kN

De dwarskracht wisselt van teken bij de last, dus het maximum ligt onder de last.

Maximaal moment

M_max = R_A·7 − w·7²/2 = 14,5·7 − 2·7²/2 = 52,5 kN·m

Antwoord

M_max = 52,5 kN·m

Dat is op x = 7 m vanaf A.

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 41,78 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (22500·75 − 706,9·97,5)/(22500 − 706,9) = 74,27 mm

Volle plaat om ȳ

150·150³/12 + 22500·0,7298² = 42,2 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·23,23² = 0,4212 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 41,78 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 41,78 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 24,5 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 160 + 15/2 = 167,5 mm

lijf: A_w = 12·160 = 1920 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·167,5 + 1920·80)/6120 = 140 mm

Stelling van Steiner

flens: 280·15³/12 + 4200·(167,5 − 140)² = 3,244 × 10⁶ mm⁴

lijf: 12·160³/12 + 1920·(80 − 140)² = 1,102 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,244 × 10⁶ + 1,102 × 10⁷ = 1,426 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 175 − 140 = 34,95 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·34,95/1,426 × 10⁷ = 24,5 MPa

Antwoord

σ_boven = 24,5 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_abs = 107,7 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. In drie dimensies is de absoluut maximale schuifspanning (σ_max − σ_min)/2 over alle drie hoofdspanningen; in een vlakke spanningstoestand is de derde nul.

Hoofdspanningen in het vlak

C = 60 MPa, R = √(100² + 40²) = 107,7 MPa

σ₁ = 167,7 MPa, σ₂ = −47,7 MPa, σ_z = 0

Grootste van de drie cirkels

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(215,4, 167,7, 47,7)/2 = 107,7 MPa

Antwoord

τ_abs = 107,7 MPa

Hier hebben σ₁ en σ₂ tegengestelde tekens, dus het maximum in het vlak R is ook het absolute maximum.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = −15,57 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 20 + −80·0,766 + 40·0,6428 = −15,57 MPa

Antwoord

σ_θ = −15,57 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_P = 36,89 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 21000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging onder de last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 21000·2000²·1000²/(3·2,53 × 10¹¹·3000) = 36,89 mm

Antwoord

δ_P = 36,89 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 115,1 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·3000⁴/(384·11000·8,333) = 1,151 × 10⁸ mm⁴

I_req = 115,1 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 115,1 × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 5,757 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/10000² = 5757 N = 5,757 kN

Antwoord

P_cr = 5,757 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 7,676 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Antwoord

σ_cr = 7,676 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials