Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van aluminium, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 60 kNdeel 1: Ø40 mm, 0,5 m, messing (E = 100 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1 m, staal (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 750 N·md = 30 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 50 kW over bij 1000 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 50 kWN = 1000 rpmd_o = 100 mmd_i = 70 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt twee puntlasten. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 10 mP₁ = 80 kN op 1 mP₂ = 55 kN op 4 m

M_max = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning en een puntlast P. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 4 mP = 60 kN op 3 mw = 12 kN/m van 0 tot 4 m

M_max = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 200 mm × 300 mm heeft een rond gat met een diameter van 50 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 180 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 200 mmh = 300 mmd = 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 120 mm × 200 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 30 mm breed en 50 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 80 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 200 mmuitsparing: 30 × 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = −20 MPa, σᵧ = −20 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Het element wordt 25° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = −20 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −60 MPa, σᵧ = 0 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 45° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = −60 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de hoekverdraaiing θ_A van de balk bij oplegging A, in radialen.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 27 kNw = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 3865 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 85·1000/314,2 = 270,6 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 270,6/70000 = 0,003865 = 3865 µε

Antwoord

ε = 3865 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 298,4 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 47,75 MPa

σ₂ = 298,4 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 298,4 MPa

Antwoord

σ_max = 298,4 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 20,78 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(26000·79522) = 0,3627 rad

φ = 0,3627·180/π = 20,78°

Antwoord

φ = 20,78°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 3,2 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(100⁴ − 70⁴)/32 = 7,46 × 10⁶ mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·50/7,46 × 10⁶ = 3,2 MPa

Antwoord

τ_max = 3,2 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 180 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 80·1 + 55·4

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 30 = 105 kN

Moment onder elke last

Houd het deel links van elke last over.

onder P₁: M = R_A·1 = 105·1 = 105 kN·m

onder P₂: M = R_B·6 = 30·6 = 180 kN·m

Grootste waarde

M_max = 180 kN·m (onder P₂)

Antwoord

M_max = 180 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 63 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·3 + 12·4·2

R_B = 276/4 = 69 kN

ΣF_y = 0: R_A = 108 − 69 = 39 kN

Waar is V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 3 kN

V(3⁺) = 3 − 60 = −57 kN

De dwarskracht wisselt van teken bij de last, dus het maximum ligt onder de last.

Maximaal moment

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 39·3 − 12·3²/2 = 63 kN·m

Antwoord

M_max = 63 kN·m

Dat is op x = 3 m vanaf A.

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 447,9 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (60000·150 − 1963·180)/(60000 − 1963) = 149 mm

Volle plaat om ȳ

200·300³/12 + 60000·1,015² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·50⁴/64 + 1963·31,01² = 2,196 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 447,9 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 447,9 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 79,05 × 10⁶ mm⁴

Zwaartepunt

ȳ = (24000·100 − 1500·80)/(24000 − 1500) = 101,3 mm

Volle plaat om ȳ

120·200³/12 + 24000·−1,333² = 80,04 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

30·50³/12 + 1500·−21,33² = 0,9952 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 79,05 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 79,05 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 10,64 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = −20 − 0·0,6428 − (−40)·0,766 = 10,64 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = −50,64 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −40 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 10,64 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = −70 MPa

Transformatieformule

σ_θ = −30 + −30·0 + −40·1 = −70 MPa

Antwoord

σ_θ = −70 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: θ_A = 0,004429 rad

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). De hoekverdraaiing θ = dv/dx is de eerste integraal van M/(EI); in consistente eenheden komt die uit in radialen.

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 5000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Eindhoekverdraaiing

θ_A = wL³/(24EI) = 5·5000³/(24·5,88 × 10¹²) = 0,004429 rad

Antwoord

θ_A = 0,004429 rad

Dat is 0,2538°.

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 49,2 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 27000 N, w = 2 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(48EI) = 27000·5000³/(48·1,76 × 10¹²) = 39,95 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 9,248 mm

Tel ze op

δ_max = 39,95 + 9,248 = 49,2 mm

Antwoord

δ_max = 49,2 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 263,2 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/2000² = 263189 N = 263,2 kN

Antwoord

P_cr = 263,2 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 4,318 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Antwoord

σ_cr = 4,318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials