Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 60 mm, E = 100 GPa). Beide zijn 400 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 100 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 100 kNstaaf: Ø30 mm, E = 200 GPabuis: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 105 kNdeel 1: Ø35 mm, 1,5 m, messing (E = 100 GPa)deel 2: Ø12 mm, 0,5 m, staal (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van staal is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 40 mm en lengte 2,5 m; deel BC heeft diameter 20 mm en lengte 1,2 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 400 N·m. Vind de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

T = 400 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 20 mm, L₂ = 1,2 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van aluminium met diameter 50 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 400 N·m werkt in B, op 2 m van A, en een wringend moment van 100 N·m in dezelfde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 1,2 m verder. Vind de grootte van de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

d = 50 mmT_B = 400 N·mT_C = 100 N·mAB = 2 mBC = 1,2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 30 kN·m op x = 7 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net rechts van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mM₀ = 30 kN·m rechtsom, op 7 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

50 kN @ 0 m50 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een hol rechthoekig profiel (koker) heeft buitenbreedte B = 140 mm, buitenhoogte H = 325 mm en een gelijkmatige wanddikte t = 16 mm. Vind de traagheidsstraal r om de horizontale zwaartepuntsas.

B = 140 mmH = 325 mmt = 16 mm

r = mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 130 × 24 mm, een lijf van 340 mm hoog en 12 mm dik, en een onderflens van 300 × 16 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bovenflens: 130 × 24 mmlijf: 12 × 340 mmonderflens: 300 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 90 MPa en σᵧ = 30 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τ_xy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 125 MPa bereikt?

σ_x = 90 MPaσ_y = 30 MPaσ₁ = 125 MPa

τ_xy = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −40 MPa, σᵧ = 90 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 35° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = −40 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P aan het vrije uiteinde. Vind met superpositie de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

P = 13 kNw = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een ingeklemde ligger is ingeklemd in A en vrij opgelegd (gesteund) in B. Hij draagt een puntlast P in het midden. EI is constant. Vind de reactie R_B bij de steunoplegging.

L = 4 mP = 40 kN op 2 m

R_B = kN

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,04042 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·8482 = 9,896 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 100000·400/9,896 × 10⁸ = 0,04042 mm

Antwoord

δ = 0,04042 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 928,4 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 109,1 MPa

σ₂ = 928,4 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 928,4 MPa

Antwoord

σ_max = 928,4 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 24,74 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polaire traagheidsmomenten

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Wringhoek van elk deel

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 400000·2500/(80000·251327) = 0,04974 rad

φ_BC = 400000·1200/(80000·15708) = 0,382 rad

Totale wringhoek

φ_C = 0,04974 + 0,382 = 0,4317 rad = 24,74°

Antwoord

φ_C = 24,74°

4.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 4,022 °

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C + T_B = 100 + 400 = 500 N·m

Wringhoek van elk deel

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 500000·2000/(26000·613592) = 0,06268 rad

φ_BC = 100000·1200/(26000·613592) = 0,007522 rad

Wringhoek van uiteinde C

φ_C = 0,06268 + 0,007522 = 0,0702 rad → |φ_C| = 4,022°

Antwoord

φ_C = 4,022°

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 3,75 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 30/8 = 3,75 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −3,75 kN (omlaag)

Snede net rechts van het koppel

Het linkerdeel bevat nu R_A en het koppel.

M_x = R_A·a + M₀ = −3,75·7 + 30 = 3,75 kN·m

Antwoord

M_x = 3,75 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: E (x = 4 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 33,33 kN, R₂ = 66,67 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = −50, M_C = −66,67, M_D = −83,33, M_E = −100 kN·m, M_F = −50, M_G = 0

Antwoord

Markering E: M_E = −100 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: r = 112,1 mm

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is. De traagheidsstraal r = √(I/A) is de afstand waarop de hele oppervlakte dezelfde I zou geven; je gebruikt hem bij knik van kolommen.

Netto oppervlakte en traagheidsmoment

b = 108 mm, h = 293 mm

A = BH − bh = 140·325 − 108·293 = 13856 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,741 × 10⁸ mm⁴

Traagheidsstraal

r = √(I/A) = √(1,741 × 10⁸/13856) = 112,1 mm

Antwoord

r = 112,1 mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 288,1 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in drie rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

bovenflens: A = 3120 mm², y = 368 mm

lijf: A = 4080 mm², y = 186 mm

onderflens: A = 4800 mm², y = 8 mm

Zwaartepunt

ȳ = (3120·368 + 4080·186 + 4800·8)/12000 = 162,1 mm

Stelling van Steiner

bovenflens: 130·24³/12 + 3120·205,9² = 1,324 × 10⁸ mm⁴

lijf: 12·340³/12 + 4080·23,88² = 4,163 × 10⁷ mm⁴

onderflens: 300·16³/12 + 4800·154,1² = 1,141 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,324 × 10⁸ + 4,163 × 10⁷ + 1,141 × 10⁸

I_x = 2,881 × 10⁸ mm⁴ = 288,1 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 288,1 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_xy = 57,66 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Benodigde straal

C = (90 + 30)/2 = 60 MPa

R = σ₁ − C = 125 − 60 = 65 MPa

Schuifspanning

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 30²) = 57,66 MPa

Antwoord

τ_xy = 57,66 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = 43,98 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −−65·0,9397 + −50·0,342 = 43,98 MPa

Antwoord

τ_θ = 43,98 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 55,87 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 13000 N, w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(3EI) = 13000·4000³/(3·8,4 × 10¹²) = 33,02 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·4000⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 22,86 mm

Tel ze op

δ = 33,02 + 22,86 = 55,87 mm

Antwoord

δ = 55,87 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: R_B = 12,5 kN

Haal de steunoplegging weg

Zonder de steunoplegging is de balk een uitkragende ligger. Het vrije uiteinde zou onder de belasting doorbuigen.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Vormveranderingsvoorwaarde bij de steunoplegging

De steunkracht R_B alleen tilt het vrije uiteinde op met R_BL³/(3EI). De steunoplegging houdt B op nul doorbuiging, dus de twee moeten elkaar opheffen. EI valt weg.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·40/16 = 12,5 kN

Antwoord

R_B = 12,5 kN

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 58,28 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/2100² = 58281 N = 58,28 kN

Antwoord

P_cr = 58,28 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 17,27 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/5 = 200

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Antwoord

σ_cr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials