Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van koper, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 110 kNd = 12 mmL = 1 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 160 MPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 50 mm, E = 70 GPa, toelaatbare spanning 70 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPabuis: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van aluminium (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 40 mm, lengte 2 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 1000 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 1000 N·md_o = 80 mmd_i = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 75 kW overbrengen bij 750 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 50 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 75 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 0,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mw = 10 kN/m van 0 tot 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 6 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mP = 55 kN op 6 mw = 3 kN/m van 0 tot 8 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een ronde buis heeft buitendiameter D = 130 mm en binnendiameter d = 122 mm. Vind de traagheidsstraal r om de horizontale zwaartepuntsas.

D = 130 mmd = 122 mm

r = mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 200 mm × 300 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 50 mm breed en 50 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 120 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 200 mmh = 300 mmuitsparing: 50 × 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 0 MPa en σᵧ = 70 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τ_xy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 105 MPa bereikt?

σ_x = 0 MPaσ_y = 70 MPaσ₁ = 105 MPa

τ_xy = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −60 MPa, σᵧ = 10 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 35° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = −60 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 100 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 100 mm

h_req = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 8313 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 110·1000/113,1 = 972,6 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 972,6/117000 = 0,008313 = 8313 µε

Antwoord

ε = 8313 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 601,9 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·9346 = 7,524 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,0008, 0,001) = 0,0008 (staal)

Grootste belasting

P_max = 0,0008·7,524 × 10⁸ = 601929 N = 601,9 kN

Antwoord

P_max = 601,9 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 1,169 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3,77 × 10⁶ mm⁴

Wringhoek

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·2000/(26000·3,77 × 10⁶) = 0,0204 rad

φ = 0,0204·180/π = 1,169°

Antwoord

φ = 1,169°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 45,99 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·50)) = 45,99 mm

Antwoord

d = 45,99 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 11,25 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·5·2,5

R_B = 125/5 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Snijd bij x = 0,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 25·0,5 − 10·0,5·0,25 = 11,25 kN·m

Antwoord

M_x = 11,25 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 100,5 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·6 + 3·8·4

R_B = 426/8 = 53,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 79 − 53,25 = 25,75 kN

Snijd bij x = 6 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 25,75·6 − 3·6·3 = 100,5 kN·m

Antwoord

M_x = 100,5 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: r = 44,57 mm

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is. De traagheidsstraal r = √(I/A) is de afstand waarop de hele oppervlakte dezelfde I zou geven; je gebruikt hem bij knik van kolommen.

Netto oppervlakte en traagheidsmoment

A = π(D² − d²)/4 = 1583 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3,145 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsstraal

r = √(I/A) = √(3,145 × 10⁶/1583) = 44,57 mm

Antwoord

r = 44,57 mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 447,1 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (60000·150 − 2500·120)/(60000 − 2500) = 151,3 mm

Volle plaat om ȳ

200·300³/12 + 60000·−1,304² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

50·50³/12 + 2500·−31,3² = 2,971 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 447,1 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 447,1 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_xy = 60,62 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Benodigde straal

C = (0 + 70)/2 = 35 MPa

R = σ₁ − C = 105 − 35 = 70 MPa

Schuifspanning

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 35²) = 60,62 MPa

Antwoord

τ_xy = 60,62 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = −83,96 MPa

Transformatieformule

σ_θ = −25 + −35·0,342 + −50·0,9397 = −83,96 MPa

Antwoord

σ_θ = −83,96 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 39,68 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·4000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 39,68 mm

Antwoord

δ_max = 39,68 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 294,6 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·5000⁴/(384·11000·13,89) = 2,131 × 10⁸ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·2,131 × 10⁸/100)^1/3 = 294,6 mm

Antwoord

h_req = 294,6 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 2,366 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4000² = 2366 N = 2,366 kN

Antwoord

P_cr = 2,366 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 55,08 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/12,5 = 112

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/112² = 55,08 MPa

Antwoord

σ_cr = 55,08 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials