Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van aluminium onder de axiale belasting.

P = 15 kNd = 10 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van aluminium (diameter 50 mm, lengte 500 mm, E = 70 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 60 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: aluminium, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van staal is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 50 mm en lengte 1,2 m; deel BC heeft diameter 40 mm en lengte 1 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 100 N·m. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

T = 100 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 40 mm, L₂ = 1 m

τ_max = MPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 75 kW overbrengen bij 1450 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 80 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 75 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mw = 8 kN/m van 0 tot 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 2 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind de afstand x_c van A tot het momentennulpunt tussen de opleggingen (waar het buigend moment van teken wisselt).

L = 8 mw = 10 kN/m van 0 tot 8 mopleggingen bij x = 0 en x = 6 m

x_c = m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 10 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mmM = 10 kN·m

σ_boven = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 70 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 70 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 100 MPa, σᵧ = 40 MPa en τₓᵧ = 20 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 20° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 100 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. Vind de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (staal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 8,185 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 15·1000/78,54 = 191 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 191/70000 = 0,002728 = 2728 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,002728·3000 mm = 8,185 mm

Antwoord

δ = 8,185 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 12,11 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 70000·1963/500 = 274889 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 60000·274889/693768 = 23774 N

Spanning

σ₂ = 23774/1963 = 12,11 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 12,11 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 7,958 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Spanning in elk deel

T = 100 N·m = 100000 N·mm

τ_AB = 16·100000/(π·50³) = 4,074 MPa

τ_BC = 16·100000/(π·40³) = 7,958 MPa

Antwoord

τ_max = 7,958 MPa

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 31,56 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·493929/(π·80)) = 31,56 mm

Antwoord

d = 31,56 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 27 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·6·3

R_B = 144/6 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Snijd bij x = 1,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 24·1,5 − 8·1,5·0,75 = 27 kN·m

Antwoord

M_x = 27 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: x_c = 5,333 m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·8·4

R_B = 320/6 = 53,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 53,33 = 26,67 kN

Moment nul

Tussen de opleggingen is M(x) = R_A·x − w·x²/2. Afgezien van x = 0 is het nul bij x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·26,67/10 = 5,333 m

Antwoord

x_c = 5,333 m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 110,1 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

lijf: A_w = 20·300 = 6000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·310 + 6000·150)/10400 = 217,7 mm

Stelling van Steiner

flens: 220·20³/12 + 4400·(310 − 217,7)² = 3,764 × 10⁷ mm⁴

lijf: 20·300³/12 + 6000·(150 − 217,7)² = 7,249 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,764 × 10⁷ + 7,249 × 10⁷ = 1,101 × 10⁸ mm⁴ = 110,1 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 110,1 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 32,81 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

lijf: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·190 + 3600·90)/5600 = 125,7 mm

Stelling van Steiner

flens: 100·20³/12 + 2000·(190 − 125,7)² = 8,332 × 10⁶ mm⁴

lijf: 20·180³/12 + 3600·(90 − 125,7)² = 1,431 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,332 × 10⁶ + 1,431 × 10⁷ = 2,264 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 200 − 125,7 = 74,29 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·74,29/2,264 × 10⁷ = 32,81 MPa

Antwoord

σ_boven = 32,81 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 36,06 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((70 − 30)/2)² + 30²) = 36,06 MPa

Antwoord

τ_max = 36,06 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 105,8 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 70 + 30·0,766 + 20·0,6428 = 105,8 MPa

Antwoord

σ_θ = 105,8 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 4,152 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2500⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 4,152 mm

Antwoord

δ = 4,152 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 60,75 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·6000⁴/(384·200000·16,67) = 6,075 × 10⁷ mm⁴

I_req = 60,75 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 60,75 × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 108,1 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1400² = 108141 N = 108,1 kN

Antwoord

P_cr = 108,1 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 35,25 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/12,5 = 140

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Antwoord

σ_cr = 35,25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials