Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van aluminium, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 110 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 25 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 30 mm, lengte 500 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 100 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van messing (buitendiameter 75 mm, binnendiameter 45 mm, lengte 1 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 2000 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 2000 N·md_o = 75 mmd_i = 45 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van aluminium met diameter 40 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 1000 N·m werkt in B, op 3 m van A, en een wringend moment van 2000 N·m in dezelfde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 3 m verder. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

d = 40 mmT_B = 1000 N·mT_C = 2000 N·mAB = 3 mBC = 3 m

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 2 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mw = 3 kN/m van 0 tot 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning en een puntlast P. Vind het maximale buigend moment M_max in de balk.

L = 8 mP = 45 kN op 7 mw = 6 kN/m van 0 tot 8 m

M_max = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een hol rechthoekig profiel (koker) heeft buitenbreedte B = 220 mm, buitenhoogte H = 300 mm en een gelijkmatige wanddikte t = 8 mm. Vind de traagheidsstraal r om de horizontale zwaartepuntsas.

B = 220 mmH = 300 mmt = 8 mm

r = mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 10 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 140 mmM = 10 kN·m

σ_boven = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 20 MPa, σᵧ = −60 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 20 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 90 MPa, σᵧ = 100 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 35° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 90 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op a = 4,5 m vanaf oplegging A. Vind de doorbuiging δ_P onder de last.

P = 12 kNa = 4,5 mL = 6 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 5002 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 110·1000/314,2 = 350,1 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 350,1/70000 = 0,005002 = 5002 µε

Antwoord

ε = 5002 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 65,57 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 100000·706,9/500 = 141372 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 100000·141372/304996 = 46352 N

Spanning

σ₂ = 46352/706,9 = 65,57 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 65,57 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 1,087 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Wringhoek

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1000/(39000·2,704 × 10⁶) = 0,01897 rad

φ = 0,01897·180/π = 1,087°

Antwoord

φ = 1,087°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 238,7 MPa

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 2000 + 1000 = 3000 N·m

Maximale schuifspanning

Het deel met het grootste inwendige wringend moment heeft de grootste spanning (zelfde diameter).

|T|_max = 3000 N·m

τ_max = 16·3 × 10⁶/(π·40³) = 238,7 MPa

Antwoord

τ_max = 238,7 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 12 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

Snijd bij x = 2 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 9·2 − 3·2·1 = 12 kN·m

Antwoord

M_x = 12 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 73,14 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·7 + 6·8·4

R_B = 507/8 = 63,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 93 − 63,38 = 29,63 kN

Waar is V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 29,63/6 = 4,938 m

Maximaal moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 29,63·4,938 − 6·4,938²/2 = 73,14 kN·m

Antwoord

M_max = 73,14 kN·m

Dat is op x = 4,938 m vanaf A.

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: r = 114,4 mm

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is. De traagheidsstraal r = √(I/A) is de afstand waarop de hele oppervlakte dezelfde I zou geven; je gebruikt hem bij knik van kolommen.

Netto oppervlakte en traagheidsmoment

b = 204 mm, h = 284 mm

A = BH − bh = 220·300 − 204·284 = 8064 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,056 × 10⁸ mm⁴

Traagheidsstraal

r = √(I/A) = √(1,056 × 10⁸/8064) = 114,4 mm

Antwoord

r = 114,4 mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 35,89 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

lijf: A_w = 16·140 = 2240 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·145 + 2240·70)/5040 = 111,7 mm

Stelling van Steiner

flens: 280·10³/12 + 2800·(145 − 111,7)² = 3,134 × 10⁶ mm⁴

lijf: 16·140³/12 + 2240·(70 − 111,7)² = 7,548 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,134 × 10⁶ + 7,548 × 10⁶ = 1,068 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 150 − 111,7 = 38,33 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·38,33/1,068 × 10⁷ = 35,89 MPa

Antwoord

σ_boven = 35,89 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = 28,15 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, 20 − −60) = 56,31°

Hoek op het element

θ_p = 28,15°

Antwoord

θ_p = 28,15°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 140,3 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 95 + −5·0,342 + 50·0,9397 = 140,3 MPa

Antwoord

σ_θ = 140,3 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_P = 17,26 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 12000 N, a = 4500 mm, b = 1500 mm, L = 6000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging onder de last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 12000·4500²·1500²/(3·1,76 × 10¹²·6000) = 17,26 mm

Antwoord

δ_P = 17,26 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 27,12 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·3000⁴/(384·70000·8,333) = 2,712 × 10⁷ mm⁴

I_req = 27,12 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 27,12 × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 145 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1750² = 145023 N = 145 kN

Antwoord

P_cr = 145 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 9,835 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/6,25 = 448

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/448² = 9,835 MPa

Antwoord

σ_cr = 9,835 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials