Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van staal onder de axiale belasting.

P = 45 kNd = 20 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 120 MPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 120 mm, binnendiameter 50 mm, E = 100 GPa, toelaatbare spanning 80 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPabuis: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as van aluminium (buitendiameter 40 mm, binnendiameter 20 mm, lengte 1 m) is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getordeerd door een wringend moment van 100 N·m. Vind de wringhoek φ in graden.

T = 100 N·md_o = 40 mmd_i = 20 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 15 kW overbrengen bij 1450 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 60 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 15 kWN = 1450 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 3 m vanaf A. Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 2,5 m vanaf de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 3 mP = 10 kN op 3 mw = 5 kN/m van 0 tot 3 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

45 kN @ 0 m20 kN @ 6 m5 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 120 mm × 300 mm heeft een rond gat met een diameter van 60 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 105 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 300 mmd = 60 mmmiddelpunt van het gat: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 25 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mmM = 25 kN·m

σ_onder = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 150 MPa, σᵧ = −20 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 150 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 800 mm en wanddikte 10 mm bevat gas met een overdruk van 2 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 60° met de as van de cilinder. Vind de grootte van de schuifspanning |τ_n| die langs de lasnaad werkt.

D = 800 mmt = 10 mmp = 2 MPaα = 60°

|τ_n| = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (staal)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een ingeklemde ligger is ingeklemd in A en vrij opgelegd (gesteund) in B. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. EI is constant. Vind de reactie R_B bij de steunoplegging.

L = 5 mw = 5 kN/m

R_B = kN

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (staal)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 2,149 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 45·1000/314,2 = 143,2 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 143,2/200000 = 0,0007162 = 716,2 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,0007162·3000 mm = 2,149 mm

Antwoord

δ = 2,149 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 711,6 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·9346 = 1,186 × 10⁹ N

Bepalende rek

ε = min(0,0006, 0,0008) = 0,0006 (staal)

Grootste belasting

P_max = 0,0006·1,186 × 10⁹ = 711571 N = 711,6 kN

Antwoord

P_max = 711,6 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,9353 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Wringhoek

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 100000·1000/(26000·235619) = 0,01632 rad

φ = 0,01632·180/π = 0,9353°

Antwoord

φ = 0,9353°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 20,32 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·98786/(π·60)) = 20,32 mm

Antwoord

d = 20,32 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −5,625 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Houd het deel met het vrije uiteinde over

P: −10·0,5 = −5 kN·m

w: −5·0,5²/2 = −0,625 kN·m

M_x = −5 − 0,625 = −5,625 kN·m

Antwoord

M_x = −5,625 kN·m

Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: B (x = 1 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 54,17 kN, R₂ = 25,83 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = −45 kN·m, M_C = −38,33, M_D = −36,67, M_E = −40, M_F = −20, M_G = 0

Antwoord

Markering B: M_B = −45 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 263,2 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (36000·150 − 2827·105)/(36000 − 2827) = 153,8 mm

Volle plaat om ȳ

120·300³/12 + 36000·−3,836² = 270,5 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−48,84² = 7,379 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 263,2 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 263,2 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 244,6 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

lijf: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·187,5 + 1800·90)/4500 = 148,5 mm

Stelling van Steiner

flens: 180·15³/12 + 2700·(187,5 − 148,5)² = 4,157 × 10⁶ mm⁴

lijf: 10·180³/12 + 1800·(90 − 148,5)² = 1,102 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,157 × 10⁶ + 1,102 × 10⁷ = 1,518 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 148,5 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·148,5/1,518 × 10⁷ = 244,6 MPa

Antwoord

σ_onder = 244,6 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = 9,72 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 150 − −20) = 19,44°

Hoek op het element

θ_p = 9,72°

Antwoord

θ_p = 9,72°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: |τ_n| = 17,32 MPa

Spanningen in de wand

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 2·400/10 = 80 MPa

σ_a = pr/(2t) = 40 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σ_a) en y in omtreksrichting (σ_h). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

|τ_n| = (80 − 40)·sin 60°·cos 60° = 17,32 MPa

Antwoord

|τ_n| = 17,32 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 1,428 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 1,428 mm

Antwoord

δ_max = 1,428 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: R_B = 9,375 kN

Haal de steunoplegging weg

Zonder de steunoplegging is de balk een uitkragende ligger. Het vrije uiteinde zou onder de belasting doorbuigen.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Vormveranderingsvoorwaarde bij de steunoplegging

De steunkracht R_B alleen tilt het vrije uiteinde op met R_BL³/(3EI). De steunoplegging houdt B op nul doorbuiging, dus de twee moeten elkaar opheffen. EI valt weg.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·5/8 = 9,375 kN

Antwoord

R_B = 9,375 kN

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 10,36 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/3000² = 10363 N = 10,36 kN

Antwoord

P_cr = 10,36 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 14,16 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/7,5 = 373,3

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/373,3² = 14,16 MPa

Antwoord

σ_cr = 14,16 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials