Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van messing onder de axiale belasting.

P = 10 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 95 kNdeel 1: Ø25 mm, 1 m, messing (E = 100 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1,5 m, staal (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsie van assenGemiddeld

Bij een torsieproef wordt een massief proefstuk met diameter 15 mm getordeerd door een wringend moment van 50 N·m. De twee uiteinden van een meetlengte van 200 mm verdraaien 4,43° ten opzichte van elkaar (het materiaal is nog elastisch). Vind de glijdingsmodulus G van het materiaal.

T = 50 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 4,43°

G = GPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal met diameter 50 mm is aan beide uiteinden A en B ingeklemd in starre wanden. Een wringend moment van 200 N·m werkt in C, op 3 m van A en 0,5 m van B. Vind de rotatiehoek φ_C van doorsnede C, in graden.

d = 50 mmT₀ = 200 N·ma = 3 mb = 0,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De uitkragende ligger is ingeklemd in A. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P op 4,5 m vanaf A. Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1,5 m vanaf de inklemming A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mP = 45 kN op 4,5 mw = 2 kN/m van 0 tot 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 5 mP = 55 kN op 1 mw = 10 kN/m van 0 tot 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 200 mm breed en 12 mm dik, een totale hoogte van 460 mm en een lijf van 12 mm dik. Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale zwaartepuntsas x.

B = 200 mmH = 460 mmt_f = 12 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 100 mm × 240 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 30 mm breed en 50 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 156 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 100 mmh = 240 mmuitsparing: 30 × 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 20 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

σ_x = 20 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 60 MPa, σᵧ = −10 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 20° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 60 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P aan het vrije uiteinde. Vind met superpositie de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

P = 27 kNw = 12 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een ingeklemde ligger is ingeklemd in A en vrij opgelegd (gesteund) in B. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. EI is constant. Vind de reactie R_B bij de steunoplegging.

L = 6 mw = 8 kN/m

R_B = kN

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (staal)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Hij moet 135 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 135 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 1,326 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/113,1 = 88,42 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 88,42/100000 = 0,0008842 = 884,2 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,0008842·1500 mm = 1,326 mm

Antwoord

δ = 1,326 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 5,479 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 193,5 MPa

σ₂ = 472,5 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 193,5·1000/100000 = 1,935 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 472,5·1500/200000 = 3,544 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,479 mm

Antwoord

δ = 5,479 mm

3.Torsie van assen

Antwoord: G = 26,02 GPa

Polair traagheidsmoment en hoek

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 4,43·π/180 = 0,07732 rad

Glijdingsmodulus

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·200/(4970·0,07732) = 26023 MPa

G = 26,02 GPa

Antwoord

G = 26,02 GPa

Ter vergelijking: staal ≈ 80 GPa, messing ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 0,1 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω. Als beide uiteinden zijn ingeklemd, geeft de statica alleen T_A + T_B = T₀; de tweede vergelijking is de vormveranderingsvoorwaarde (gelijke wringhoek van beide delen bij de belaste doorsnede).

Evenwicht en vormveranderingsvoorwaarde

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·0,5/3,5 = 28,57 N·m

T_B = 200·3/3,5 = 171,4 N·m

Rotatie van C

Gebruik deel AC: dat is ingeklemd in A en draagt T_A.

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 28571·3000/(80000·613592) = 0,001746 rad = 0,1°

Antwoord

φ_C = 0,1°

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −147,3 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Houd het deel met het vrije uiteinde over

P: −45·3 = −135 kN·m

w: −2·3,5²/2 = −12,25 kN·m

M_x = −135 − 12,25 = −147,3 kN·m

Antwoord

M_x = −147,3 kN·m

Negatief betekent opbuigend (hogging): trek aan de bovenzijde.

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 64 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1 + 10·5·2,5

R_B = 180/5 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 36 = 69 kN

Snijd bij x = 1 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 69·1 − 10·1·0,5 = 64 kN·m

Antwoord

M_x = 64 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 323,8 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 460 − 2·12 = 436 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·460³ − 188·436³)/12

I_x = 3,238 × 10⁸ mm⁴ = 323,8 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 323,8 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 112,8 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (24000·120 − 1500·156)/(24000 − 1500) = 117,6 mm

Volle plaat om ȳ

100·240³/12 + 24000·2,4² = 115,3 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

30·50³/12 + 1500·38,4² = 2,524 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 112,8 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 112,8 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 50,25 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Straal van de cirkel van Mohr

τ_max = R = √(((20 − 30)/2)² + −50²) = 50,25 MPa

Antwoord

τ_max = 50,25 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 71,1 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 25 + 35·0,766 + 30·0,6428 = 71,1 MPa

Antwoord

σ_θ = 71,1 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 4,52 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 27000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(3EI) = 27000·1500³/(3·8,4 × 10¹²) = 3,616 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·1500⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 0,904 mm

Tel ze op

δ = 3,616 + 0,904 = 4,52 mm

Antwoord

δ = 4,52 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: R_B = 18 kN

Haal de steunoplegging weg

Zonder de steunoplegging is de balk een uitkragende ligger. Het vrije uiteinde zou onder de belasting doorbuigen.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Vormveranderingsvoorwaarde bij de steunoplegging

De steunkracht R_B alleen tilt het vrije uiteinde op met R_BL³/(3EI). De steunoplegging houdt B op nul doorbuiging, dus de twee moeten elkaar opheffen. EI valt weg.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·6/8 = 18 kN

Antwoord

R_B = 18 kN

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 22,85 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/3000² = 22846 N = 22,85 kN

Antwoord

P_cr = 22,85 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 59,21 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·135000 = 270000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 59,21 mm

Antwoord

d = 59,21 mm

Controle: de slankheid KL/r is 141,9, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials