Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van brons (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 60 mm, E = 110 GPa). Beide zijn 500 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 80 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 80 kNstaaf: Ø25 mm, E = 200 GPabuis: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 600 mm, E = 200 GPa) en een segment van brons (diameter 60 mm, lengte 200 mm, E = 110 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 40 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPasegment 2: brons, Ø60 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van messing is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 60 mm en lengte 2 m; deel BC heeft diameter 30 mm en lengte 0,8 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 750 N·m. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

T = 750 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 2 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,8 m

τ_max = MPa

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 100 kW over bij 1500 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_o = 75 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind de dwarskracht V_x in de doorsnede x = 1 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mw = 2 kN/m van 0 tot 4 mx = 1 m

V_x = kN

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

45 kN @ 0 m55 kN @ 12 m20 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 100 mm breed en 16 mm dik, een totale hoogte van 340 mm en een lijf van 14 mm dik. Vind het elastische weerstandsmoment S_x voor buiging om de horizontale zwaartepuntsas x.

B = 100 mmH = 340 mmt_f = 16 mmt_w = 14 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 150 mm × 300 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 60 mm breed en 50 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 105 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 150 mmh = 300 mmuitsparing: 60 × 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −40 MPa en τₓᵧ = −40 MPa, met σ_z = 0. Vind de absoluut maximale schuifspanning τ_abs in het punt (alle vlakken in drie dimensies bekeken).

σ_x = −50 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 30 mm draagt een buigend moment van 200 N·m samen met een wringend moment van 200 N·m. Aan het bovenoppervlak, waar de buigspanning trek is en het grootst, vind de grootste hoofdspanning σ₁.

d = 30 mmM = 200 N·mT = 200 N·m

σ₁ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de hoekverdraaiing θ_A van de balk bij oplegging A, in radialen.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 100 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/300. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 1,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 100 mm

h_req = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (staal)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,1176 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·2199 = 3,401 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 80000·500/3,401 × 10⁸ = 0,1176 mm

Antwoord

δ = 0,1176 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 13,25 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 110000·2827/200 = 1,555 × 10⁶ N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 40000·1,555 × 10⁶/1,66 × 10⁶ = 37476 N

Spanning

σ₂ = 37476/2827 = 13,25 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 13,25 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 141,5 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Spanning in elk deel

T = 750 N·m = 750000 N·mm

τ_AB = 16·750000/(π·60³) = 17,68 MPa

τ_BC = 16·750000/(π·30³) = 141,5 MPa

Antwoord

τ_max = 141,5 MPa

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 8,228 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·37,5/2,902 × 10⁶ = 8,228 MPa

Antwoord

τ_max = 8,228 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: V_x = 2 kN

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·4·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

Snijd bij x = 1 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

V = R_A − (alle neerwaartse belastingen links van de snede)

V_x = 4 − 2·1 = 2 kN

Antwoord

V_x = 2 kN

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: F (x = 10 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 57,5 kN, R₂ = 62,5 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = −90, M_C = −65, M_D = −80, M_E = −95, M_F = −110 kN·m, M_G = 0

Antwoord

Markering F: M_F = −110 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: S_x = 694,9 × 10³ mm³

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 340 − 2·16 = 308 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·340³ − 86·308³)/12

I_x = 1,181 × 10⁸ mm⁴

Weerstandsmoment

c = H/2 = 170 mm

S_x = I/c = 1,181 × 10⁸/170

S_x = 694923 mm³ = 694,9 × 10³ mm³

Antwoord

S_x = 694,9 × 10³ mm³

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 330,4 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (45000·150 − 3000·105)/(45000 − 3000) = 153,2 mm

Volle plaat om ȳ

150·300³/12 + 45000·−3,214² = 338 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

60·50³/12 + 3000·−48,21² = 7,599 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 330,4 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 330,4 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_abs = 42,66 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. In drie dimensies is de absoluut maximale schuifspanning (σ_max − σ_min)/2 over alle drie hoofdspanningen; in een vlakke spanningstoestand is de derde nul.

Hoofdspanningen in het vlak

C = −45 MPa, R = √((−5)² + (−40)²) = 40,31 MPa

σ₁ = −4,689 MPa, σ₂ = −85,31 MPa, σ_z = 0

Grootste van de drie cirkels

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(80,62, 4,689, 85,31)/2 = 42,66 MPa

Antwoord

τ_abs = 42,66 MPa

Hier is de cirkel buiten het vlak maatgevend: het absolute maximum is groter dan het maximum in het vlak R.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ₁ = 91,08 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·30³) = 75,45 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·30³) = 37,73 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 37,73 MPa

R = √(37,73² + 37,73²) = 53,35 MPa

σ₁ = C + R = 91,08 MPa

σ₂ = C − R = −15,63 MPa

Antwoord

σ₁ = 91,08 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: θ_A = 0,004482 rad

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). De hoekverdraaiing θ = dv/dx is de eerste integraal van M/(EI); in consistente eenheden komt die uit in radialen.

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Eindhoekverdraaiing

θ_A = wL³/(24EI) = 8·2000³/(24·5,95 × 10¹¹) = 0,004482 rad

Antwoord

θ_A = 0,004482 rad

Dat is 0,2568°.

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 139,9 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/300 = 3500/300 = 11,67 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·3500⁴/(384·11000·11,67) = 2,284 × 10⁷ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·2,284 × 10⁷/100)^1/3 = 139,9 mm

Antwoord

h_req = 139,9 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 3,139 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·5000 = 5000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

Antwoord

P_cr = 3,139 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 24,87 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/15 = 166,7

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166,7² = 24,87 MPa

Antwoord

σ_cr = 24,87 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials