Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van staal, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 90 kNd = 25 mmL = 1 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) en een segment van koper (diameter 30 mm, lengte 300 mm, E = 120 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 60 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø30 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 100 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van aluminium brengt 30 kW over bij 300 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 60 MPa en de wringhoek niet groter dan 0,25° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 30 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

30 kN @ 8 m4 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind de afstand x₀ van A tot de doorsnede waar het buigend moment het grootst is.

L = 4 mw = 8 kN/m van 1 tot 3 m

x₀ = m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 160 mm breed en 14 mm dik, een totale hoogte van 200 mm en een lijf van 14 mm dik. Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale zwaartepuntsas x.

B = 160 mmH = 200 mmt_f = 14 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gietijzeren balk heeft het getekende T-profiel, met de flens boven. De toelaatbare spanningen zijn 30 MPa op trek en 150 MPa op druk. Vind het grootste opbuigende (hogging) moment M_allow dat de balk kan dragen (geef de grootte).

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = −70 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Het element wordt 20° rechtsom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = −70 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 20 MPa, σᵧ = 80 MPa en τₓᵧ = −60 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 35° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = 20 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de hoekverdraaiing θ_A van de balk bij oplegging A, in radialen.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 120 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een ingeklemde ligger is ingeklemd in A en vrij opgelegd (gesteund) in B. Hij draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. EI is constant. Vind de reactie R_B bij de steunoplegging.

L = 3 mw = 4 kN/m

R_B = kN

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 35 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 35 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 916,7 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 90·1000/490,9 = 183,3 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 183,3/200000 = 0,0009167 = 916,7 µε

Antwoord

ε = 916,7 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 58,76 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 120000·706,9/300 = 282743 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 60000·282743/408407 = 41538 N

Spanning

σ₂ = 41538/706,9 = 58,76 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 58,76 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 1,754 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(26000·251327) = 0,03061 rad

φ = 0,03061·180/π = 1,754°

Antwoord

φ = 1,754°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 96,23 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Diameter op sterkte

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·60)) = 43,28 mm

Diameter op stijfheid

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·26000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 96,23 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(43,28, 96,23) = 96,23 mm

Antwoord

d = 96,23 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: E (x = 8 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 26 kN, R₂ = 36 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 52, M_C = 96, M_D = 124, M_E = 136 kN·m, M_F = 72, M_G = 0

Antwoord

Markering E: M_E = 136 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: x₀ = 2 m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·2·2

R_B = 32/4 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Dwarskracht nul

De dwarskracht begint bij R_A, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 8/8 = 2 m

Antwoord

x₀ = 2 m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 44,76 × 10⁶ mm⁴

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 200 − 2·14 = 172 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·200³ − 146·172³)/12

I_x = 4,476 × 10⁷ mm⁴ = 44,76 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 44,76 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: M_allow = 5,439 kN·m

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Zwaartepunt

ȳ = (3000·105 + 1400·50)/4400 = 87,5 mm

bovenrand: c = 110 − 87,5 = 22,5 mm

Traagheidsmoment

I = 300·10³/12 + 3000·17,5² + 14·100³/12 + 1400·37,5² = 4,079 × 10⁶ mm⁴

Toelaatbaar moment per rand

Opbuigend: de bovenkant staat op trek, de onderkant op druk.

bovenrand: M = 30·4,079 × 10⁶/22,5 = 5,439 kN·m

onderrand: M = 150·4,079 × 10⁶/87,5 = 6,993 kN·m

Maatgevende waarde

M_allow = min = 5,439 kN·m (bovenrand)

Antwoord

M_allow = 5,439 kN·m

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 5,446 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = −20 − (−50)·0,766 − (−20)·(−0,6428) = 5,446 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = −45,45 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −40 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 5,446 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = −16,64 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 50 + −30·0,342 + −60·0,9397 = −16,64 MPa

Antwoord

σ_θ = −16,64 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: θ_A = 0,01364 rad

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). De hoekverdraaiing θ = dv/dx is de eerste integraal van M/(EI); in consistente eenheden komt die uit in radialen.

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Eindhoekverdraaiing

θ_A = wL³/(24EI) = 2·6000³/(24·1,32 × 10¹²) = 0,01364 rad

Antwoord

θ_A = 0,01364 rad

Dat is 0,7813°.

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: R_B = 4,5 kN

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). Haal bij een statisch onbepaalde balk een overtollige oplegging weg en eis dat de doorbuiging daar nul is (vormveranderingsvoorwaarde).

Haal de steunoplegging weg

Zonder de steunoplegging is de balk een uitkragende ligger. Het vrije uiteinde zou onder de belasting doorbuigen.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Vormveranderingsvoorwaarde bij de steunoplegging

De steunkracht R_B alleen tilt het vrije uiteinde op met R_BL³/(3EI). De steunoplegging houdt B op nul doorbuiging, dus de twee moeten elkaar opheffen. EI valt weg.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·3/8 = 4,5 kN

Antwoord

R_B = 4,5 kN

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 154,2 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/1000² = 154213 N = 154,2 kN

Antwoord

P_cr = 154,2 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 46,1 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·35000 = 70000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 46,1 mm

Antwoord

d = 46,1 mm

Controle: de slankheid KL/r is 216,9, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials