Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van koper, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 12 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 35 kNdeel 1: Ø35 mm, 2 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø12 mm, 0,5 m, staal (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 100 N·md = 50 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 75 kW overbrengen bij 750 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 75 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 75 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De vrij opgelegde balk draagt een rechtsdraaiend koppel M₀ = 10 kN·m op x = 7 m vanaf A, en verder geen belasting. Vind het buigend moment M_x net links van het koppel. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mM₀ = 10 kN·m rechtsom, op 7 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1,5 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind het buigend moment M_B bij oplegging B. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 7,5 mw = 2 kN/m van 0 tot 7,5 mopleggingen bij x = 0 en x = 6 m

M_B = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een ronde buis heeft buitendiameter D = 260 mm en binnendiameter d = 236 mm. Vind de traagheidsstraal r om de horizontale zwaartepuntsas.

D = 260 mmd = 236 mm

r = mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 120 mm × 200 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 50 mm breed en 20 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 70 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 200 mmuitsparing: 50 × 20 mmmiddelpunt van het gat: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 30 MPa en τₓᵧ = 30 MPa, met σ_z = 0. Vind de absoluut maximale schuifspanning τ_abs in het punt (alle vlakken in drie dimensies bekeken).

σ_x = 30 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −10 MPa, σᵧ = 50 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Bereken de normaalspanning σ_θ op een vlak waarvan de normaal 60° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as.

σ_x = −10 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. Vind de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een ingeklemde ligger is ingeklemd in A en vrij opgelegd (gesteund) in B. Hij draagt een puntlast P in het midden. EI is constant. Vind de reactie R_B bij de steunoplegging.

L = 6 mP = 80 kN op 3 m

R_B = kN

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 35 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 35 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 5668 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 75·1000/113,1 = 663,1 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 663,1/117000 = 0,005668 = 5668 µε

Antwoord

ε = 5668 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 1,137 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 36,38 MPa

σ₂ = 309,5 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 36,38·2000/200000 = 0,3638 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 309,5·500/200000 = 0,7737 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,137 mm

Antwoord

δ = 1,137 mm

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 0,3502 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(80000·613592) = 0,006112 rad

φ = 0,006112·180/π = 0,3502°

Antwoord

φ = 0,3502°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 40,18 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·75)) = 40,18 mm

Antwoord

d = 40,18 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = −8,75 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Een uitwendig koppel laat de momentenlijn verspringen met de grootte van het koppel.

Oplegreacties

Momenten om A, linksom positief: R_B·L − M₀ = 0. Verticaal evenwicht: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 10/8 = 1,25 kN (omhoog)

R_A = −R_B = −1,25 kN (omlaag)

Snede net links van het koppel

Het linkerdeel bevat alleen R_A.

M_x = R_A·a = −1,25·7 = −8,75 kN·m

Antwoord

M_x = −8,75 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_B = −2,25 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 2·7,5 = 15 kN, aangrijpend op x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·7,5·3,75

R_B = 56,25/6 = 9,375 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 9,375 = 5,625 kN

Snede bij B, houd het overstek over

De belasting op het overstek, w·a, grijpt aan op a/2 vanaf B en laat de balk boven de oplegging opbuigen.

M_B = −w·a²/2 = −2·1,5²/2 = −2,25 kN·m

Antwoord

M_B = −2,25 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: r = 87,78 mm

Traagheidsmoment: voor een rechthoek is I = bh³/12 om de eigen zwaartepuntsas en bh³/3 om de basis (stelling van Steiner I = I_c + A·d²). Een gat verwerk je door de I ervan af te trekken, zolang beide delen dezelfde as hebben. Het elastische weerstandsmoment is S = I/c, waarbij c de afstand tot de uiterste vezel is. De traagheidsstraal r = √(I/A) is de afstand waarop de hele oppervlakte dezelfde I zou geven; je gebruikt hem bij knik van kolommen.

Netto oppervlakte en traagheidsmoment

A = π(D² − d²)/4 = 9349 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 7,205 × 10⁷ mm⁴

Traagheidsstraal

r = √(I/A) = √(7,205 × 10⁷/9349) = 87,78 mm

Antwoord

r = 87,78 mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 79,03 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (24000·100 − 1000·70)/(24000 − 1000) = 101,3 mm

Volle plaat om ȳ

120·200³/12 + 24000·−1,304² = 80,04 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

50·20³/12 + 1000·−31,3² = 1,013 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 79,03 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 79,03 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_abs = 30 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. In drie dimensies is de absoluut maximale schuifspanning (σ_max − σ_min)/2 over alle drie hoofdspanningen; in een vlakke spanningstoestand is de derde nul.

Hoofdspanningen in het vlak

C = 30 MPa, R = √(0² + 30²) = 30 MPa

σ₁ = 60 MPa, σ₂ = 0 MPa, σ_z = 0

Grootste van de drie cirkels

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(60, 60, 0)/2 = 30 MPa

Antwoord

τ_abs = 30 MPa

Hier hebben σ₁ en σ₂ tegengestelde tekens, dus het maximum in het vlak R is ook het absolute maximum.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_θ = 69,64 MPa

Transformatieformule

σ_θ = 20 + −30·−0,5 + 40·0,866 = 69,64 MPa

Antwoord

σ_θ = 69,64 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 23,25 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Doorbuiging

δ = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·8,4 × 10¹¹) = 23,25 mm

Antwoord

δ = 23,25 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: R_B = 25 kN

Haal de steunoplegging weg

Zonder de steunoplegging is de balk een uitkragende ligger. Het vrije uiteinde zou onder de belasting doorbuigen.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Vormveranderingsvoorwaarde bij de steunoplegging

De steunkracht R_B alleen tilt het vrije uiteinde op met R_BL³/(3EI). De steunoplegging houdt B op nul doorbuiging, dus de twee moeten elkaar opheffen. EI valt weg.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN

Antwoord

R_B = 25 kN

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 38,59 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Kniklengte

KL = 2·3000 = 6000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/6000² = 38586 N = 38,59 kN

Antwoord

P_cr = 38,59 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 53,39 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·35000 = 87500 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·87500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 53,39 mm

Antwoord

d = 53,39 mm

Controle: de slankheid KL/r is 224,7, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials