Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 20 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van brons (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 70 mm, E = 110 GPa). Beide zijn 300 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 100 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 100 kNstaaf: Ø20 mm, E = 200 GPabuis: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 35 kNdeel 1: Ø30 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1,5 m, koper (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 400 N·md = 40 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een holle as brengt 75 kW over bij 3000 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

P = 75 kWN = 3000 rpmd_o = 75 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mw = 6 kN/m van 0 tot 6 mx = 5 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

40 kN @ 0 m55 kN @ 12 m60 kN @ 4 m8 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 200 mm × 300 mm heeft een rond gat met een diameter van 50 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 105 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 200 mmh = 300 mmd = 50 mmmiddelpunt van het gat: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een symmetrisch I-profiel heeft flenzen van 230 mm breed en 16 mm dik, een totale hoogte van 500 mm en een lijf van 8 mm dik. Het draagt een buigend moment van 120 kN·m om de as x. Vind de grootte van de buigspanning σ_j bij de overgang van het lijf naar de bovenflens.

B = 230 mmH = 500 mmt_f = 16 mmt_w = 8 mmM = 120 kN·m

σ_j = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 0 MPa en σᵧ = 90 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τ_xy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 100 MPa bereikt?

σ_x = 0 MPaσ_y = 90 MPaσ₁ = 100 MPa

τ_xy = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 20 mm draagt een buigend moment van 100 N·m samen met een wringend moment van 100 N·m. Aan het bovenoppervlak, waar de buigspanning trek is en het grootst, vind de maximale schuifspanning in het vlak τ_max.

d = 20 mmM = 100 N·mT = 100 N·m

τ_max = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger met lengte L is ingeklemd in A en draagt een puntlast P op een afstand a = 1,5 m vanaf A. Vind de doorbuiging δ_B aan het vrije uiteinde B.

P = 30 kNa = 1,5 mL = 2,5 mE = 200 GPa (staal)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op b = 1,5 m vanaf oplegging B. Vind de doorbuiging δ_mid in het midden.

P = 5 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (staal)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,05959 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·4006 = 5,034 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 100000·300/5,034 × 10⁸ = 0,05959 mm

Antwoord

δ = 0,05959 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 174,1 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 49,51 MPa

σ₂ = 174,1 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 174,1 MPa

Antwoord

σ_max = 174,1 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 2,338 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(39000·251327) = 0,04081 rad

φ = 0,04081·180/π = 2,338°

Antwoord

φ = 2,338°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 4,182 MPa

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 75000/314,2 = 238,7 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Maximale schuifspanning

τ_max = T·(d_o/2)/J = 238732·37,5/2,141 × 10⁶ = 4,182 MPa

Antwoord

τ_max = 4,182 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 15 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

Snijd bij x = 5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 18·5 − 6·5·2,5 = 15 kN·m

Antwoord

M_x = 15 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: E (x = 8 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 80,67 kN, R₂ = 122,3 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = −80, M_C = −14,67, M_D = −101,3, M_E = −220 kN·m, M_F = −110, M_G = 0

Antwoord

Markering E: M_E = −220 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 445,6 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (60000·150 − 1963·105)/(60000 − 1963) = 151,5 mm

Volle plaat om ȳ

200·300³/12 + 60000·−1,522² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−46,52² = 4,556 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 445,6 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 445,6 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_j = 56,21 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Buitenrechthoek min de twee uitsparingen aan de zijkanten

Beide uitsparingen samen zijn (B − t_w) breed en h_w = H − 2t_f hoog, en hebben de as x gemeen.

h_w = 500 − 2·16 = 468 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·500³ − 222·468³)/12

I_x = 4,995 × 10⁸ mm⁴

Buigspanning

y = 250 − 16 = 234 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·234/4,995 × 10⁸ = 56,21 MPa

Antwoord

σ_j = 56,21 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_xy = 31,62 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Benodigde straal

C = (0 + 90)/2 = 45 MPa

R = σ₁ − C = 100 − 45 = 55 MPa

Schuifspanning

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 45²) = 31,62 MPa

Antwoord

τ_xy = 31,62 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_max = 90,03 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·20³) = 127,3 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·20³) = 63,66 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 63,66 MPa

R = √(63,66² + 63,66²) = 90,03 MPa

Antwoord

τ_max = 90,03 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_B = 28,13 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 30000 N, a = 1500 mm, L = 2500 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging aan het vrije uiteinde

Doorbuiging bij de last plus de hoekverdraaiing bij de last maal de resterende lengte.

δ_P = Pa³/(3EI) = 14,06 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01406 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 28,13 mm

Antwoord

δ_B = 28,13 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_mid = 2,418 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 5000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging in het midden

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 5000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·2,52 × 10¹²) = 2,418 mm

Antwoord

δ_mid = 2,418 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 186,5 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/1050² = 186500 N = 186,5 kN

Antwoord

P_cr = 186,5 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 27,76 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Antwoord

σ_cr = 27,76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials