Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van staal onder de axiale belasting.

P = 35 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de totale verlenging δ.

P = 15 kNdeel 1: Ø30 mm, 1 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1 m, staal (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van messing is ingeklemd in de muur en wordt aan het vrije uiteinde getordeerd door een koppel T. Vind de wringhoek φ van het vrije uiteinde, in graden.

T = 750 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal met diameter 40 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 750 N·m werkt in B, op 1,5 m van A, en een wringend moment van 2000 N·m in tegengestelde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 1,5 m verder. Vind de maximale schuifspanning τ_max in de as.

d = 40 mmT_B = 750 N·mT_C = 2000 N·mAB = 1,5 mBC = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

20 kN @ 4 m45 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1,5 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind het buigend moment M_B bij oplegging B. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 9,5 mw = 12 kN/m van 0 tot 9,5 mopleggingen bij x = 0 en x = 8 m

M_B = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 100 mm × 300 mm heeft een rond gat met een diameter van 40 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 195 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 100 mmh = 300 mmd = 40 mmmiddelpunt van het gat: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een gelast I-profiel heeft een bovenflens van 140 × 14 mm, een lijf van 390 mm hoog en 12 mm dik, en een onderflens van 270 × 12 mm (breedte × dikte). Vind het traagheidsmoment I_x om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bovenflens: 140 × 14 mmlijf: 12 × 390 mmonderflens: 270 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = −80 MPa, σᵧ = −30 MPa en τₓᵧ = 20 MPa (trek positief). Het element wordt 40° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = −80 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 60 MPa, σᵧ = 110 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 45° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 60 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. Vind de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (staal)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,1783 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 35·1000/490,9 = 71,3 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for staal = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 71,3/200000 = 0,0003565 = 356,5 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,0003565·500 mm = 0,1783 mm

Antwoord

δ = 0,1783 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,4791 mm

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 21,22 MPa

σ₂ = 74,6 MPa

Tel de verlengingen van de delen op

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 21,22·1000/200000 = 0,1061 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 74,6·1000/200000 = 0,373 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,4791 mm

Antwoord

δ = 0,4791 mm

3.Torsie van assen

Antwoord: φ = 10,96 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polair traagheidsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Wringhoek

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(39000·251327) = 0,1913 rad

φ = 0,1913·180/π = 10,96°

Antwoord

φ = 10,96°

4.Torsie van assen

Antwoord: τ_max = 159,2 MPa

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 2000 − 750 = 1250 N·m

Maximale schuifspanning

Het deel met het grootste inwendige wringend moment heeft de grootste spanning (zelfde diameter).

|T|_max = 2000 N·m

τ_max = 16·2 × 10⁶/(π·40³) = 159,2 MPa

Antwoord

τ_max = 159,2 MPa

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: E (x = 4 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 14,17 kN, R₂ = 50,83 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 14,17, M_C = 28,33, M_D = 42,5, M_E = 56,67 kN·m, M_F = 50,83, M_G = 0

Antwoord

Markering E: M_E = 56,67 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_B = −13,5 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 12·9,5 = 114 kN, aangrijpend op x̄ = 4,75 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·9,5·4,75

R_B = 541,5/8 = 67,69 kN

ΣF_y = 0: R_A = 114 − 67,69 = 46,31 kN

Snede bij B, houd het overstek over

De belasting op het overstek, w·a, grijpt aan op a/2 vanaf B en laat de balk boven de oplegging opbuigen.

M_B = −w·a²/2 = −12·1,5²/2 = −13,5 kN·m

Antwoord

M_B = −13,5 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 222,2 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (30000·150 − 1257·195)/(30000 − 1257) = 148 mm

Volle plaat om ȳ

100·300³/12 + 30000·1,967² = 225,1 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·40⁴/64 + 1257·46,97² = 2,898 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 222,2 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 222,2 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 263,7 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in drie rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

bovenflens: A = 1960 mm², y = 409 mm

lijf: A = 4680 mm², y = 207 mm

onderflens: A = 3240 mm², y = 6 mm

Zwaartepunt

ȳ = (1960·409 + 4680·207 + 3240·6)/9880 = 181,2 mm

Stelling van Steiner

bovenflens: 140·14³/12 + 1960·227,8² = 1,018 × 10⁸ mm⁴

lijf: 12·390³/12 + 4680·25,84² = 6,244 × 10⁷ mm⁴

onderflens: 270·12³/12 + 3240·175,2² = 9,944 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,018 × 10⁸ + 6,244 × 10⁷ + 9,944 × 10⁷

I_x = 2,637 × 10⁸ mm⁴ = 263,7 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 263,7 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = −70,35 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = −55 − (−25)·0,1736 − 20·0,9848 = −70,35 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = −39,65 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −110 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = −70,35 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = 25 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −−25·1 + 40·0 = 25 MPa

Antwoord

τ_θ = 25 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 8,438 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δ = wL⁴/(8EI) = 2·3000⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 8,438 mm

Antwoord

δ = 8,438 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 25,71 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·4000⁴/(384·70000·11,11) = 2,571 × 10⁷ mm⁴

I_req = 25,71 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 25,71 × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 4,606 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/8000² = 4606 N = 4,606 kN

Antwoord

P_cr = 4,606 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 8,812 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/7,5 = 280

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Antwoord

σ_cr = 8,812 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials