Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van aluminium, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σ_max in de staaf.

P = 90 kNdeel 1: Ø30 mm, 0,5 m, koper (E = 117 GPa)deel 2: Ø12 mm, 0,5 m, messing (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal met een lengte van 2 m draagt een wringend moment van 1000 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 1,5°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 1000 N·mL = 2 mG = 80 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van aluminium met diameter 30 mm is aan beide uiteinden A en B ingeklemd in starre wanden. Een wringend moment van 1500 N·m werkt in C, op 3 m van A en 0,5 m van B. Vind de rotatiehoek φ_C van doorsnede C, in graden.

d = 30 mmT₀ = 1500 N·ma = 3 mb = 0,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

35 kN @ 6 m5 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting over een deel van de overspanning. Vind de afstand x₀ van A tot de doorsnede waar het buigend moment het grootst is.

L = 5 mw = 6 kN/m van 0 tot 3 m

x₀ = m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 15 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mmM = 15 kN·m

σ_onder = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 0 MPa en σᵧ = 70 MPa. Hoe groot mag de schuifspanning τ_xy (grootte) worden voordat de grootste hoofdspanning 110 MPa bereikt?

σ_x = 0 MPaσ_y = 70 MPaσ₁ = 110 MPa

τ_xy = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een massieve as met diameter 40 mm draagt een buigend moment van 1000 N·m samen met een wringend moment van 250 N·m. Aan het bovenoppervlak, waar de buigspanning trek is en het grootst, vind de grootste hoofdspanning σ₁.

d = 40 mmM = 1000 N·mT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (staal)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (staal)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (staal)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 85 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 85 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 1718 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 85·1000/706,9 = 120,3 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 120,3/70000 = 0,001718 = 1718 µε

Antwoord

ε = 1718 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ_max = 795,8 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 127,3 MPa

σ₂ = 795,8 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σ_max = 795,8 MPa

Antwoord

σ_max = 795,8 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 55,85 mm

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·2000/(80000·0,02618) = 954930 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 55,85 mm

Antwoord

d = 55,85 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 17,81 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω. Als beide uiteinden zijn ingeklemd, geeft de statica alleen T_A + T_B = T₀; de tweede vergelijking is de vormveranderingsvoorwaarde (gelijke wringhoek van beide delen bij de belaste doorsnede).

Evenwicht en vormveranderingsvoorwaarde

T_A + T_B = 1500

T_A·a = T_B·b

T_A = 1500·0,5/3,5 = 214,3 N·m

T_B = 1500·3/3,5 = 1286 N·m

Rotatie van C

Gebruik deel AC: dat is ingeklemd in A en draagt T_A.

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 214286·3000/(26000·79522) = 0,3109 rad = 17,81°

Antwoord

φ_C = 17,81°

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: D (x = 6 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 47,5 kN, R₂ = 47,5 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 85, M_C = 150, M_D = 195 kN·m, M_E = 150, M_F = 85, M_G = 0

Antwoord

Markering D: M_D = 195 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: x₀ = 2,1 m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, aangrijpend op x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·3·1,5

R_B = 27/5 = 5,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 5,4 = 12,6 kN

Dwarskracht nul

De dwarskracht begint bij R_A, blijft constant over elk onbelast deel en daalt met helling w binnen de belasting.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 12,6/6 = 2,1 m

Antwoord

x₀ = 2,1 m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 74,02 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

lijf: A_w = 18·300 = 5400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·307,5 + 5400·150)/7200 = 189,4 mm

Stelling van Steiner

flens: 120·15³/12 + 1800·(307,5 − 189,4)² = 2,515 × 10⁷ mm⁴

lijf: 18·300³/12 + 5400·(150 − 189,4)² = 4,887 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,515 × 10⁷ + 4,887 × 10⁷ = 7,402 × 10⁷ mm⁴ = 74,02 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 74,02 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 141,6 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

lijf: A_w = 18·140 = 2520 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·145 + 2520·70)/5320 = 109,5 mm

Stelling van Steiner

flens: 280·10³/12 + 2800·(145 − 109,5)² = 3,557 × 10⁶ mm⁴

lijf: 18·140³/12 + 2520·(70 − 109,5)² = 8,043 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,557 × 10⁶ + 8,043 × 10⁶ = 1,16 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 109,5 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·109,5/1,16 × 10⁷ = 141,6 MPa

Antwoord

σ_onder = 141,6 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_xy = 66,33 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Benodigde straal

C = (0 + 70)/2 = 35 MPa

R = σ₁ − C = 110 − 35 = 75 MPa

Schuifspanning

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(75² − 35²) = 66,33 MPa

Antwoord

τ_xy = 66,33 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ₁ = 161,6 MPa

Spanningen aan het oppervlak

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·40³) = 159,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·40³) = 19,89 MPa

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 79,58 MPa

R = √(79,58² + 19,89²) = 82,03 MPa

σ₁ = C + R = 161,6 MPa

σ₂ = C − R = −2,449 MPa

Antwoord

σ₁ = 161,6 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 57,97 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 8000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·8000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 57,97 mm

Antwoord

δ_max = 57,97 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 3,164 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·3000⁴/(384·200000·8,333) = 3,164 × 10⁶ mm⁴

I_req = 3,164 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 3,164 × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 93,25 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/1050² = 93250 N = 93,25 kN

Antwoord

P_cr = 93,25 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 56,96 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·85000 = 255000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 56,96 mm

Antwoord

d = 56,96 mm

Controle: de slankheid KL/r is 140,4, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials