Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning
σ = F/A
Rek
ε = ΔL/L
Wet van Hooke
σ = E·ε
Verlenging
ΔL = FL/(EA)
Thermische rek
εT = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning
τ = T·r/J
Massieve as
J = πd⁴/32
Holle as
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek
φ = TL/(GJ)
Vermogen
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
  2. Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
  3. Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
  4. Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
  2. Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
  3. Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
  4. Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt
C = (σx + σy)/2
Straal
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hoofdspanningen
σ1,2 = C ± R
Hoofdrichting
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Schuin vlak
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
  4. Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden
δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten
δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast
δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting
δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie
δ = δ1 + δ2

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld
Ø 20 mmKoper1 mP = 75 kN

Vind de verlenging δ van de staaf van koper onder de axiale belasting.

P = 75 kNd = 20 mmL = 1 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Axiale spanning en rekMoeilijk
Ø 30 mmStaal2 mØ 16 mmStaal1 mP = 70 kN

De getrapte staaf is ingeklemd in de muur en belast aan het vrije uiteinde. Vind de grootste normaalspanning σmax in de staaf.

P = 70 kNdeel 1: Ø30 mm, 2 m, staal (E = 200 GPa)deel 2: Ø16 mm, 1 m, staal (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.Torsie van assenGemiddeld
do​ = ?T = 100 N·m

Een holle as moet een wringend moment van 100 N·m dragen. De binnendiameter moet 0,7 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 50 MPa. Vind de kleinste buitendiameter do.

T = 100 N·mdi/do = 0,7τallow = 50 MPa
do = mm
4.Torsie van assenMoeilijk
Tdo​ = 50 mm, di​ = 40 mm

Een holle as brengt 10 kW over bij 1450 omw/min. Vind de maximale schuifspanning τmax in de as.

P = 10 kWN = 1450 rpmdo = 50 mmdi = 40 mm
τmax = MPa
5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
15 kN40 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

15 kN @ 5 m40 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
w = 12 kN/mP = 50 kNAB2 m3 m

De vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning en een puntlast P. Vind het maximale buigend moment Mmax in de balk.

L = 5 mP = 50 kN op 2 mw = 12 kN/m van 0 tot 5 m
Mmax = kN·m
7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
1202018016xafmetingen in mm

Vind het traagheidsmoment Ix van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bf = 120 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
3003028014xM = 5 kN·mafmetingen in mm

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 5 kN·m. Vind de buigspanning σonder aan de onderrand.

bf = 300 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 280 mmM = 5 kN·m
σonder = MPa
9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
σx​ = 90σy​ = 40τxy​ = 30MPa

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 90 MPa, σᵧ = 40 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de maximale schuifspanning in het vlak τmax.

σx = 90 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
σx​ = −10σy​ = 80τxy​ = 50MPa

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −10 MPa, σᵧ = 80 MPa en τₓᵧ = 50 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τθ op een vlak waarvan de normaal 35° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σx = −10 MPaσy = 80 MPaτxy = 50 MPaθ = 35°
τθ = MPa
11.Doorbuiging van de balkGemiddeld
P = 17 kNABδ1 m7 m

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op a = 1 m vanaf oplegging A. Vind de doorbuiging δP onder de last.

P = 17 kNa = 1 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Doorbuiging van de balkMoeilijk
w = 4 kN/mABδ3,5 m

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 75 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind de kleinste hoogte hreq van de doorsnede.

w = 4 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 75 mm
hreq = mm
13.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 1 m20 × 60 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
14.Knik van kolommenMoeilijk
P = 85 kNL = 1 md = ?doorsnede

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 85 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 85 kNn = 2,5L = 1 mE = 200 GPa (staal)
d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 2,04 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 75·1000/314,2 = 238,7 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for koper = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 238,7/117000 = 0,00204 = 2040 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,00204·1000 mm = 2,04 mm

Antwoord

δ = 2,04 mm
2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σmax = 348,2 MPa

Axiaal belaste staven: elk prismatisch deel volgt δ = PL/(AE). Voor delen in serie tellen de verlengingen op.

Dezelfde kracht in beide delen

Het vrije uiteinde draagt P, dus elke doorsnede van de staaf draagt dezelfde axiale kracht P. Alleen de oppervlakken en materialen veranderen.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 99,03 MPa
σ2 = 348,2 MPa

Grootste spanning

Het dunnere deel heeft het kleinere oppervlak, dus het draagt de grotere spanning.

σmax = 348,2 MPa

Antwoord

σmax = 348,2 MPa
3.Torsie van assen

Antwoord: do = 23,75 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 100 N·m = 100000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·50·0,7599)) = 23,75 mm
di = 0,7·23,75 = 16,63 mm

Antwoord

do = 23,75 mm

Een massieve as zou d = 21,68 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

4.Torsie van assen

Antwoord: τmax = 4,545 MPa

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 10000/151,8 = 65,86 N·m

Polair traagheidsmoment

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

Maximale schuifspanning

τmax = T·(do/2)/J = 65857·25/362265 = 4,545 MPa

Antwoord

τmax = 4,545 MPa
5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: C (x = 2 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R1 = 29,17 kN, R2 = 25,83 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

MA = 0, MB = 29,17, MC = 58,33 kN·m, MD = 47,5, ME = 36,67, MF = 25,83, MG = 0

Antwoord

Markering C: MC = 58,33 kN·m
6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: Mmax = 96 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, aangrijpend op x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 50·2 + 12·5·2,5
RB = 250/5 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 50 = 60 kN

Waar is V = 0?

V(2⁻) = RA − w·2 = 36 kN
V(2⁺) = 36 − 50 = −14 kN
De dwarskracht wisselt van teken bij de last, dus het maximum ligt onder de last.

Maximaal moment

Mmax = RA·2 − w·2²/2 = 60·2 − 12·2²/2 = 96 kN·m

Antwoord

Mmax = 96 kN·m

Dat is op x = 2 m vanaf A.

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: Ix = 20,95 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: Af = 120·20 = 2400 mm², yf = 180 + 20/2 = 190 mm
lijf: Aw = 16·180 = 2880 mm², yw = 180/2 = 90 mm

Zwaartepunt

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·190 + 2880·90)/5280 = 135,5 mm

Stelling van Steiner

flens: 120·20³/12 + 2400·(190 − 135,5)² = 7,22 × 10⁶ mm⁴
lijf: 16·180³/12 + 2880·(90 − 135,5)² = 1,373 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7,22 × 10⁶ + 1,373 × 10⁷ = 2,095 × 10⁷ mm⁴ = 20,95 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

Ix = 20,95 × 10⁶ mm⁴
8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σonder = 13,49 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: Af = 300·30 = 9000 mm², yf = 280 + 30/2 = 295 mm
lijf: Aw = 14·280 = 3920 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Zwaartepunt

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (9000·295 + 3920·140)/12920 = 248 mm

Stelling van Steiner

flens: 300·30³/12 + 9000·(295 − 248)² = 2,058 × 10⁷ mm⁴
lijf: 14·280³/12 + 3920·(140 − 248)² = 7,131 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,058 × 10⁷ + 7,131 × 10⁷ = 9,189 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 248 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·248/9,189 × 10⁷ = 13,49 MPa

Antwoord

σonder = 13,49 MPa
9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τmax = 39,05 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

στxyCτmax​

Straal van de cirkel van Mohr

τmax = R = √(((90 − 40)/2)² + 30²) = 39,05 MPa

Antwoord

τmax = 39,05 MPa
10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τθ = 59,39 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatieformule

τθ = −−45·0,9397 + 50·0,342 = 59,39 MPa

Antwoord

τθ = 59,39 MPa
11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δP = 21,56 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 17000 N, a = 1000 mm, b = 7000 mm, L = 8000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging onder de last

δP = Pa²b²/(3EIL) = 17000·1000²·7000²/(3·1,61 × 10¹²·8000) = 21,56 mm

Antwoord

δP = 21,56 mm
12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: hreq = 227 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δallow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Benodigd traagheidsmoment

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3500⁴/(384·11000·9,722) = 7,308 × 10⁷ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = Ireq → h = (12·7,308 × 10⁷/75)1/3 = 227 mm

Antwoord

hreq = 227 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 27,63 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·1000 = 1000 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/1000² = 27635 N = 27,63 kN

Antwoord

Pcr = 27,63 kN
14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 54,42 mm

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Benodigde kritieke belasting

Pcr = n·P = 2,5·85000 = 212500 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 54,42 mm

Antwoord

d = 54,42 mm

Controle: de slankheid KL/r is 147, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials