Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf van staal (diameter 30 mm, E = 200 GPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 70 mm, E = 100 GPa). Beide zijn 400 mm lang en worden samen tussen stijve platen met 200 kN op druk belast. Bepaal de verkorting δ.

P = 200 kNstaaf: Ø30 mm, E = 200 GPabuis: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 25 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 120 MPa) zit in een buis van messing (buitendiameter 80 mm, binnendiameter 60 mm, E = 100 GPa, toelaatbare spanning 50 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPabuis: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van aluminium met een lengte van 3 m draagt een wringend moment van 200 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 2°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 200 N·mL = 3 mG = 26 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 30 kW overbrengen bij 500 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 60 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 30 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mw = 12 kN/m van 0 tot 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 2,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mP = 25 kN op 1,5 mw = 6 kN/m van 0 tot 6 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 10 kN·m. Vind de buigspanning σ_onder aan de onderrand.

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mmM = 10 kN·m

σ_onder = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 90 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = 60 MPa (trek positief). Het element wordt 35° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = 90 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 30 MPa, σᵧ = 70 MPa en τₓᵧ = 20 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 50° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = 30 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de hoekverdraaiing θ_A van de balk bij oplegging A, in radialen.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 120 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δ_max.

P = 29 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (constructiehout)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 0,1476 mm

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·4006 = 5,419 × 10⁸ N

Verkorting

δ = 200000·400/5,419 × 10⁸ = 0,1476 mm

Antwoord

δ = 0,1476 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 159 kN

Oppervlakken

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·2199 = 3,181 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,0006, 0,0005) = 0,0005 (messing)

Grootste belasting

P_max = 0,0005·3,181 × 10⁸ = 159043 N = 159 kN

Antwoord

P_max = 159 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 50,94 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·3000/(26000·0,03491) = 661105 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 50,94 mm

Antwoord

d = 50,94 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 36,5 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 30000/52,36 = 573 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·572958/(π·60)) = 36,5 mm

Antwoord

d = 36,5 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 22,5 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Snijd bij x = 1,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 24·1,5 − 12·1,5·0,75 = 22,5 kN·m

Antwoord

M_x = 22,5 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 48,13 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·1,5 + 6·6·3

R_B = 145,5/6 = 24,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 61 − 24,25 = 36,75 kN

Snijd bij x = 2,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 36,75·2,5 − 25·(2,5 − 1,5) − 6·2,5·1,25 = 48,13 kN·m

Antwoord

M_x = 48,13 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 18,45 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

lijf: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·185 + 2880·90)/4880 = 128,9 mm

Stelling van Steiner

flens: 200·10³/12 + 2000·(185 − 128,9)² = 6,303 × 10⁶ mm⁴

lijf: 16·180³/12 + 2880·(90 − 128,9)² = 1,214 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,303 × 10⁶ + 1,214 × 10⁷ = 1,845 × 10⁷ mm⁴ = 18,45 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 18,45 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_onder = 29,85 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 160·15 = 2400 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

lijf: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·307,5 + 4200·150)/6600 = 207,3 mm

Stelling van Steiner

flens: 160·15³/12 + 2400·(307,5 − 207,3)² = 2,415 × 10⁷ mm⁴

lijf: 14·300³/12 + 4200·(150 − 207,3)² = 4,528 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,415 × 10⁷ + 4,528 × 10⁷ = 6,943 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 207,3 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·207,3/6,943 × 10⁷ = 29,85 MPa

Antwoord

σ_onder = 29,85 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 53,75 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 105 − (−15)·0,342 − 60·0,9397 = 53,75 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = 156,3 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 210 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 53,75 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = 16,22 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −−20·0,9848 + 20·−0,1736 = 16,22 MPa

Antwoord

τ_θ = 16,22 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: θ_A = 0,01364 rad

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie). De hoekverdraaiing θ = dv/dx is de eerste integraal van M/(EI); in consistente eenheden komt die uit in radialen.

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Eindhoekverdraaiing

θ_A = wL³/(24EI) = 2·6000³/(24·1,32 × 10¹²) = 0,01364 rad

Antwoord

θ_A = 0,01364 rad

Dat is 0,7813°.

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 16,46 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 29000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(48EI) = 29000·3000³/(48·1,76 × 10¹²) = 9,268 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 7,191 mm

Tel ze op

δ_max = 9,268 + 7,191 = 16,46 mm

Antwoord

δ_max = 16,46 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 5,287 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/4200² = 5287 N = 5,287 kN

Antwoord

P_cr = 5,287 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 19,28 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/6,25 = 320

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19,28 MPa

Antwoord

σ_cr = 19,28 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials