Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning
σ = F/A
Rek
ε = ΔL/L
Wet van Hooke
σ = E·ε
Verlenging
ΔL = FL/(EA)
Thermische rek
εT = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning
τ = T·r/J
Massieve as
J = πd⁴/32
Holle as
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek
φ = TL/(GJ)
Vermogen
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
  2. Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
  3. Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
  4. Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment
V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning
σ = M·y/I
Rechthoek
I = bh³/12
Weerstandsmoment
W = I/ymax
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
  2. Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
  3. Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
  4. Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechthoek
I = bh³/12
Stelling van Steiner
I = Ic + A·d²
Samengestelde doorsnede
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt
C = (σx + σy)/2
Straal
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hoofdspanningen
σ1,2 = C ± R
Hoofdrichting
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Schuin vlak
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
  4. Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden
δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten
δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast
δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting
δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie
δ = δ1 + δ2

Knik van kolommen

Eulerse kniklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor
K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning
σcr = Pcr/A
Slankheid
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld
Ø 10 mmAluminium1,5 mP = 120 kN

Vind de axiale rek ε in de staaf van aluminium, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.Axiale spanning en rekMoeilijk
P = ?Ø4070 GPaØ100/60400 mm

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 160 MPa) zit in een buis van aluminium (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 60 mm, E = 70 GPa, toelaatbare spanning 80 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting Pmax.

staaf: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPabuis: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.Torsie van assenGemiddeld
do​ = ?T = 750 N·m

Een holle as moet een wringend moment van 750 N·m dragen. De binnendiameter moet 0,8 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 40 MPa. Vind de kleinste buitendiameter do.

T = 750 N·mdi/do = 0,8τallow = 40 MPa
do = mm
4.Torsie van assenMoeilijk
Td = ?

Een massieve as moet 20 kW overbrengen bij 1500 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 80 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 20 kWN = 1500 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld
25 kN60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

25 kN @ 4 m60 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk
10 kN/m40 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

40 kN @ 6 m10 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld
1802526020xafmetingen in mm

Vind het traagheidsmoment Ix van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

bf = 180 mmtf = 25 mmtw = 20 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk
1803014014xM = 25 kN·mafmetingen in mm

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 25 kN·m. Vind de buigspanning σonder aan de onderrand.

bf = 180 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 140 mmM = 25 kN·m
σonder = MPa
9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld
σx​ = 140σy​ = 80τxy​ = −20MPa

In een punt is σₓ = 140 MPa, σᵧ = 80 MPa en τₓᵧ = −20 MPa (trek positief). Het element wordt 15° linksom gedraaid. Vind de normaalspanning σy′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σx = 140 MPaσy = 80 MPaτxy = −20 MPaθ = 15°
σy′ = MPa
10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk
σx​τxy​bovenoppervlak van de as

Een massieve as met diameter 30 mm draagt een buigend moment van 1000 N·m samen met een wringend moment van 100 N·m. Aan het bovenoppervlak, waar de buigspanning trek is en het grootst, vind de maximale schuifspanning in het vlak τmax.

d = 30 mmM = 1000 N·mT = 100 N·m
τmax = MPa
11.Doorbuiging van de balkGemiddeld
w = 2 kN/mδL = 6 m

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δmax, in het midden.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (staal)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Doorbuiging van de balkMoeilijk
w = 2 kN/mP = 18 kNδL = 2,5 m

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w en een puntlast P in het midden. Vind met superpositie de doorbuiging in het midden δmax.

P = 18 kNw = 2 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (staal)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Knik van kolommenGemiddeld
PL = 3 m30 × 40 mmdoorsnede

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
14.Knik van kolommenMoeilijk
P = 70 kNL = 1,5 md = ?doorsnede

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Hij moet 70 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 70 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 21827 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 120·1000/78,54 = 1528 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1528/70000 = 0,02183 = 21827 µε

Antwoord

ε = 21827 µε
2.Axiale spanning en rek

Antwoord: Pmax = 482,5 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, Pi = P·EiAi/ΣEA, en σi = Ei·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5027 = 6,032 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,0008, 0,001143) = 0,0008 (staal)

Grootste belasting

Pmax = 0,0008·6,032 × 10⁸ = 482549 N = 482,5 kN

Antwoord

Pmax = 482,5 kN
3.Torsie van assen

Antwoord: do = 54,48 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 750 N·m = 750000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·40·0,5904)) = 54,48 mm
di = 0,8·54,48 = 43,59 mm

Antwoord

do = 54,48 mm

Een massieve as zou d = 45,71 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 20,09 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τmax = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(do⁴ − di⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·127324/(π·80)) = 20,09 mm

Antwoord

d = 20,09 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: C (x = 4 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R1 = 66,67 kN, R2 = 18,33 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

MA = 0, MB = 133,3, MC = 146,7 kN·m, MD = 110, ME = 73,33, MF = 36,67, MG = 0

Antwoord

Markering C: MC = 146,7 kN·m
6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: E (x = 4 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R1 = 0 kN, R2 = 80 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

MA = 0, MB = −5, MC = −20, MD = −45, ME = −80 kN·m, MF = −40, MG = 0

Antwoord

Markering E: ME = −80 kN·m
7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: Ix = 78,51 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: Af = 180·25 = 4500 mm², yf = 260 + 25/2 = 272,5 mm
lijf: Aw = 20·260 = 5200 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Zwaartepunt

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4500·272,5 + 5200·130)/9700 = 196,1 mm

Stelling van Steiner

flens: 180·25³/12 + 4500·(272,5 − 196,1)² = 2,65 × 10⁷ mm⁴
lijf: 20·260³/12 + 5200·(130 − 196,1)² = 5,202 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,65 × 10⁷ + 5,202 × 10⁷ = 7,851 × 10⁷ mm⁴ = 78,51 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

Ix = 78,51 × 10⁶ mm⁴
8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σonder = 236,4 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: Af = 180·30 = 5400 mm², yf = 140 + 30/2 = 155 mm
lijf: Aw = 14·140 = 1960 mm², yw = 140/2 = 70 mm

Zwaartepunt

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5400·155 + 1960·70)/7360 = 132,4 mm

Stelling van Steiner

flens: 180·30³/12 + 5400·(155 − 132,4)² = 3,172 × 10⁶ mm⁴
lijf: 14·140³/12 + 1960·(70 − 132,4)² = 1,082 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3,172 × 10⁶ + 1,082 × 10⁷ = 1,4 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De onderrand ligt ȳ van de as.

y = 132,4 mm
σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·132,4/1,4 × 10⁷ = 236,4 MPa

Antwoord

σonder = 236,4 MPa
9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σy′ = 94,02 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σy′ = 110 − 30·0,866 − (−20)·0,5 = 94,02 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σx′ = 126 MPa, σx′ + σy′ = 220 = σx + σy

Antwoord

σy′ = 94,02 MPa
10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τmax = 189,6 MPa

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Spanningen aan het oppervlak

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·30³) = 377,3 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·30³) = 18,86 MPa
στxyCτmax​

Cirkel van Mohr

C = σ/2 = 188,6 MPa
R = √(188,6² + 18,86²) = 189,6 MPa

Antwoord

τmax = 189,6 MPa
11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δmax = 7,337 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 7,337 mm

Antwoord

δmax = 7,337 mm
12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δmax = 2,865 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 18000 N, w = 2 N/mm, L = 2500 mm, EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δP = PL³/(48EI) = 18000·2500³/(48·2,4 × 10¹²) = 2,441 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2500⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 0,4239 mm

Tel ze op

δmax = 2,441 + 0,4239 = 2,865 mm

Antwoord

δmax = 2,865 mm
13.Knik van kolommen

Antwoord: Pcr = 6,909 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritieke belasting

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/3000² = 6909 N = 6,909 kN

Antwoord

Pcr = 6,909 kN
14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 86,4 mm

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij Pcr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Benodigde kritieke belasting

Pcr = n·P = 3·70000 = 210000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 86,4 mm

Antwoord

d = 86,4 mm

Controle: de slankheid KL/r is 138,9, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials