Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van messing (diameter 40 mm, lengte 500 mm, E = 100 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,5 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø40 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een staaf van staal (diameter 40 mm, E = 200 GPa, toelaatbare spanning 150 MPa) zit in een buis van koper (buitendiameter 100 mm, binnendiameter 60 mm, E = 120 GPa, toelaatbare spanning 50 MPa). Ze worden samen tussen stijve platen op druk belast. Bepaal de grootste belasting P_max.

staaf: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPabuis: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Torsie van assenGemiddeld

Een getrapte massieve as van aluminium is ingeklemd in A. Deel AB heeft diameter 50 mm en lengte 2,5 m; deel BC heeft diameter 25 mm en lengte 0,8 m. Op het vrije uiteinde C werkt een wringend moment van 100 N·m. Vind de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

T = 100 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 0,8 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van staal brengt 30 kW over bij 1000 rpm. De schuifspanning mag niet groter zijn dan 40 MPa en de wringhoek niet groter dan 0,5° per m lengte. Vind de kleinste diameter d die aan beide eisen voldoet.

P = 30 kWN = 1000 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 1 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mw = 12 kN/m van 0 tot 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

50 kN @ 0 m35 kN @ 12 m50 kN @ 4 m8 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een U-profiel ligt met de open kant naar boven: een bodemplaat van 200 mm breed met twee opstaande benen, 120 mm hoog in totaal. Bodem en benen zijn allemaal 8 mm dik. Vind de hoogte ȳ van het zwaartepunt boven de onderrand.

b = 200 mmh = 120 mmt = 8 mm

ȳ = mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 10 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mmM = 10 kN·m

σ_boven = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −30 MPa, σᵧ = 10 MPa en τₓᵧ = 40 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = −30 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −70 MPa, σᵧ = 110 MPa en τₓᵧ = −50 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 45° met de klok mee gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde houten balk met rechthoekige doorsnede, 75 mm breed, draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. De doorbuiging in het midden mag niet groter zijn dan overspanning/300. Vind de kleinste hoogte h_req van de doorsnede.

w = 1 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (constructiehout)b = 75 mm

h_req = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 50 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2,5 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 50 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 89,76 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1257) = 3,979 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,5/5,57 × 10⁻⁶ = 89760 N = 89,76 kN

Antwoord

P = 89,76 kN

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: P_max = 356 kN

Oppervlakken

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Gecombineerde axiale stijfheid

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5027 = 8,545 × 10⁸ N

Bepalende rek

ε = min(0,00075, 0,0004167) = 0,0004167 (koper)

Grootste belasting

P_max = 0,0004167·8,545 × 10⁸ = 356047 N = 356 kN

Antwoord

P_max = 356 kN

3.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 5,495 °

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Polaire traagheidsmomenten

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Wringhoek van elk deel

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 100000·2500/(26000·613592) = 0,01567 rad

φ_BC = 100000·800/(26000·38350) = 0,08023 rad

Totale wringhoek

φ_C = 0,01567 + 0,08023 = 0,0959 rad = 5,495°

Antwoord

φ_C = 5,495°

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 45,22 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 30000/104,7 = 286,5 N·m

Diameter op sterkte

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

d_τ = ∛(16·286479/(π·40)) = 33,16 mm

Diameter op stijfheid

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·286479/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 45,22 mm

Maatgevende diameter

Beide eisen moeten gelden, dus de grootste diameter is maatgevend.

d = max(33,16, 45,22) = 45,22 mm

Antwoord

d = 45,22 mm

Hier is de stijfheid maatgevend.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 18 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Snijd bij x = 1 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 24·1 − 12·1·0,5 = 18 kN·m

Antwoord

M_x = 18 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: E (x = 8 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 100,7 kN, R₂ = 82,33 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = −100, M_C = −14,67, M_D = −61,33, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

Antwoord

Markering E: M_E = −140 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: ȳ = 35,7 mm

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in rechthoeken

Neem de bodem over de volle breedte en de twee benen daarboven (hoogte h − t), zodat niets dubbel geteld wordt.

basis: A₁ = 200·8 = 1600 mm², y₁ = 4 mm

twee benen: A₂ = 2·8·112 = 1792 mm², y₂ = 8 + 112/2 = 64 mm

Zwaartepunt

ȳ = (1600·4 + 1792·64)/3392 = 35,7 mm

Antwoord

ȳ = 35,7 mm

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 12,1 MPa

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292,5 mm

lijf: A_w = 10·280 = 2800 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·292,5 + 2800·140)/7300 = 234 mm

Stelling van Steiner

flens: 180·25³/12 + 4500·(292,5 − 234)² = 1,563 × 10⁷ mm⁴

lijf: 10·280³/12 + 2800·(140 − 234)² = 4,304 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,563 × 10⁷ + 4,304 × 10⁷ = 5,867 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 305 − 234 = 70,99 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·70,99/5,867 × 10⁷ = 12,1 MPa

Antwoord

σ_boven = 12,1 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = 58,28 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, −30 − 10) = 116,6°

Hoek op het element

θ_p = 58,28°

Antwoord

θ_p = 58,28°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = −90 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −−90·−1 + −50·0 = −90 MPa

Antwoord

τ_θ = −90 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 12,42 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 12,42 mm

Antwoord

δ_max = 12,42 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: h_req = 115,3 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Doorbuigingseis

δ_allow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

Benodigd traagheidsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·3000⁴/(384·11000·10) = 9,588 × 10⁶ mm⁴

Benodigde hoogte

bh³/12 = I_req → h = (12·9,588 × 10⁶/75)^1/3 = 115,3 mm

Antwoord

h_req = 115,3 mm

Kies in de praktijk de eerstvolgende standaardhoogte boven deze waarde.

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 107,9 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/2000² = 107949 N = 107,9 kN

Antwoord

P_cr = 107,9 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 75,36 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2,5·50000 = 125000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 75,36 mm

Antwoord

d = 75,36 mm

Controle: de slankheid KL/r is 265,4, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials