Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de verlenging δ van de staaf van aluminium onder de axiale belasting.

P = 15 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 300 mm, E = 200 GPa) en een segment van koper (diameter 40 mm, lengte 200 mm, E = 120 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 80 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPasegment 2: koper, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as moet een wringend moment van 1000 N·m dragen. De binnendiameter moet 0,8 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 50 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 30 kW overbrengen bij 300 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 50 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 30 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

De markeringen A tot en met G verdelen de balk in zes gelijke delen. Bij welke markering is het buigend moment het grootst in absolute waarde, positief of negatief? Klik erop in het diagram.

60 kN @ 6 m40 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 0,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mP = 25 kN op 7 mw = 6 kN/m van 0 tot 8 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 120 mm × 200 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 50 mm breed en 40 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 120 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 200 mmuitsparing: 50 × 40 mmmiddelpunt van het gat: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

In een punt is σₓ = 20 MPa, σᵧ = 20 MPa en τₓᵧ = −10 MPa (trek positief). Het element wordt 20° rechtsom gedraaid. Vind de normaalspanning σ_y′ op de vlakken van het gedraaide element die loodrecht staan op de gedraaide y′-as.

σ_x = 20 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een dunne plaat verkeert in een vlakke spanningstoestand: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 120 MPa en τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Het materiaal heeft een vloeigrens van 350 MPa. Vind de veiligheidsfactor n tegen vloeien volgens het criterium van Von Mises (vormveranderingsenergie).

σ_x = 70 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 20 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte. Vind de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Vind de slankheid en de kritieke knikspanning σ_cr met de formule van Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (staal)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: δ = 1,023 mm

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 15·1000/314,2 = 47,75 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 47,75/70000 = 0,0006821 = 682,1 µε

Verlenging

δ = ε·L = 0,0006821·1500 mm = 1,023 mm

Antwoord

δ = 1,023 mm

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 49,82 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 120000·1257/200 = 753982 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 80000·753982/963422 = 62609 N

Spanning

σ₂ = 62609/1257 = 49,82 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 49,82 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 55,67 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·50·0,5904)) = 55,67 mm

d_i = 0,8·55,67 = 44,54 mm

Antwoord

d_o = 55,67 mm

Een massieve as zou d = 46,7 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 45,99 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·50)) = 45,99 mm

Antwoord

d = 45,99 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: D (x = 6 m)

Grootste buigend moment: M verandert van helling overal waar de dwarskracht verandert, dus de pieken liggen waar de dwarskracht door nul gaat: onder een puntlast, binnen een verdeelde last, of boven een oplegging van een uitkragende balk. Bij een ingeklemde oplegging van een console is het moment het grootst bij de wand. Vergelijk de grootte van M op die plaatsen, positief (doorbuigend) of negatief (opbuigend).

Oplegreacties

Neem momenten om één oplegging en gebruik dan het verticale krachtenevenwicht.

R₁ = 56,67 kN, R₂ = 43,33 kN

Buigend moment bij elke markering

Tel de momenten van alle krachten aan één kant van de snede op. Een doorbuigend moment is positief, een opbuigend moment negatief.

M_A = 0, M_B = 113,3, M_C = 226,7, M_D = 260 kN·m, M_E = 173,3, M_F = 86,67, M_G = 0

Antwoord

Markering D: M_D = 260 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 12,81 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·7 + 6·8·4

R_B = 367/8 = 45,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 73 − 45,88 = 27,13 kN

Snijd bij x = 0,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 27,13·0,5 − 6·0,5·0,25 = 12,81 kN·m

Antwoord

M_x = 12,81 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 101,7 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

lijf: A_w = 16·300 = 4800 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·315 + 4800·150)/9600 = 232,5 mm

Stelling van Steiner

flens: 160·30³/12 + 4800·(315 − 232,5)² = 3,303 × 10⁷ mm⁴

lijf: 16·300³/12 + 4800·(150 − 232,5)² = 6,867 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,303 × 10⁷ + 6,867 × 10⁷ = 1,017 × 10⁸ mm⁴ = 101,7 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 101,7 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 78,86 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (24000·100 − 2000·120)/(24000 − 2000) = 98,18 mm

Volle plaat om ȳ

120·200³/12 + 24000·1,818² = 80,08 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

50·40³/12 + 2000·21,82² = 1,219 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 78,86 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 78,86 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_y′ = 13,57 MPa

Transformatievergelijking voor het y′-vlak

σ_y′ = 20 − 0·0,766 − (−10)·(−0,6428) = 13,57 MPa

Controle

De som van de normaalspanningen verandert niet bij rotatie.

σ_x′ = 26,43 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 40 = σ_x + σ_y

Antwoord

σ_y′ = 13,57 MPa

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: n = 3,182

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R. Vloeicriteria: Von Mises voorspelt vloeien als σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) de waarde σ_Y bereikt; Tresca als de absoluut maximale schuifspanning σ_Y/2 bereikt.

Hoofdspanningen

C = 95 MPa, R = 32,02 MPa

σ₁ = 127 MPa, σ₂ = 62,98 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(127² − 127·62,98 + 62,98²) = 110 MPa

n = 350/110 = 3,182

Antwoord

n = 3,182

n > 1 betekent dat het punt niet vloeit; Tresca is iets conservatiever dan Von Mises.

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 3,571 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging

δ = wL⁴/(8EI) = 20·2000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 3,571 mm

Antwoord

δ = 3,571 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 10,85 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·3000⁴/(384·70000·8,333) = 1,085 × 10⁷ mm⁴

I_req = 10,85 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 10,85 × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 141 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Kniklengte

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/1050² = 140994 N = 141 kN

Antwoord

P_cr = 141 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: σ_cr = 77,11 MPa

Kleinste traagheidsmoment

Een ronde doorsnede heeft om elke as dezelfde I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Traagheidsstraal en slankheid

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/6,25 = 160

Kritieke spanning

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Antwoord

σ_cr = 77,11 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials