Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Vind de axiale rek ε in de staaf van messing, in microrek (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 12 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 300 mm, E = 200 GPa) en een segment van brons (diameter 60 mm, lengte 200 mm, E = 110 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 40 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPasegment 2: brons, Ø60 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een massieve as van staal met een lengte van 1,2 m draagt een wringend moment van 200 N·m. De wringhoek tussen de uiteinden mag niet groter zijn dan 0,5°. Vind de kleinste diameter d die hieraan voldoet.

T = 200 N·mL = 1,2 mG = 80 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as moet 30 kW overbrengen bij 1000 omw/min zonder dat de schuifspanning boven 60 MPa komt. Vind de kleinste diameter d die voldoet.

P = 30 kWN = 1000 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind de dwarskracht V_x in de doorsnede x = 5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 6 mw = 6 kN/m van 0 tot 6 mx = 5 m

V_x = kN

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 2,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 4 mP = 20 kN op 2,5 mw = 10 kN/m van 0 tot 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Een plaat van 120 mm × 300 mm heeft een rond gat met een diameter van 40 mm op de verticale hartlijn, met zijn middelpunt 120 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 120 mmh = 300 mmd = 40 mmmiddelpunt van het gat: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Het T-profiel wordt gebruikt als balk met de flens boven en draagt een doorbuigend (sagging) moment van 10 kN·m. Vind de grootte van de buigspanning σ_boven aan de bovenrand.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mmM = 10 kN·m

σ_boven = MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −20 MPa, σᵧ = −30 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = −20 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = −60 MPa, σᵧ = 80 MPa en τₓᵧ = −40 MPa (trek positief). Bereken de schuifspanning τ_θ op een vlak waarvan de normaal 50° tegen de klok in gedraaid is ten opzichte van de x-as (positief in dezelfde zin als τₓᵧ).

σ_x = −60 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een uitkragende ligger draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele lengte en een puntlast P aan het vrije uiteinde. Vind met superpositie de doorbuiging δ aan het vrije uiteinde.

P = 15 kNw = 4 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (staal)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een puntlast P op b = 2,5 m vanaf oplegging B. Vind de doorbuiging δ_mid in het midden.

P = 7 kNb = 2,5 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van staal is aan beide uiteinden ingeklemd. Hij moet 120 kN dragen met een veiligheidsfactor van 3 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 120 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (staal)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: ε = 3095 µε

Wet van Hooke: in het elastische gebied geldt σ = E·ε. Samen met σ = P/A en ε = δ/L geeft dat δ = PL/(AE).

Spanning

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 35·1000/113,1 = 309,5 MPa

Rek (wet van Hooke)

E for messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 309,5/100000 = 0,003095 = 3095 µε

Antwoord

ε = 3095 µε

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 9,194 MPa

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Stijfheden

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 110000·2827/200 = 1,555 × 10⁶ N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 40000·1,555 × 10⁶/2,393 × 10⁶ = 25996 N

Spanning

σ₂ = 25996/2827 = 9,194 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 9,194 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: d = 43,26 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Benodigd polair traagheidsmoment

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·1200/(80000·0,008727) = 343775 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 43,26 mm

Antwoord

d = 43,26 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

4.Torsie van assen

Antwoord: d = 28,97 mm

Koppel

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 30000/104,7 = 286,5 N·m

Diameter uit de toelaatbare spanning

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·286479/(π·60)) = 28,97 mm

Antwoord

d = 28,97 mm

In de praktijk rond je af naar de volgende standaardmaat.

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: V_x = −12 kN

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, aangrijpend op x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

Snijd bij x = 5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

V = R_A − (alle neerwaartse belastingen links van de snede)

V_x = 18 − 6·5 = −12 kN

Antwoord

V_x = −12 kN

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 37,5 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, aangrijpend op x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·2,5 + 10·4·2

R_B = 130/4 = 32,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 32,5 = 27,5 kN

Snijd bij x = 2,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 27,5·2,5 − 10·2,5·1,25 = 37,5 kN·m

Antwoord

M_x = 37,5 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 268,7 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (36000·150 − 1257·120)/(36000 − 1257) = 151,1 mm

Volle plaat om ȳ

120·300³/12 + 36000·−1,085² = 270 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−31,09² = 1,34 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 268,7 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 268,7 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: σ_boven = 19,36 MPa

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

lijf: A_w = 12·180 = 2160 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·195 + 2160·90)/7560 = 165 mm

Stelling van Steiner

flens: 180·30³/12 + 5400·(195 − 165)² = 5,265 × 10⁶ mm⁴

lijf: 12·180³/12 + 2160·(90 − 165)² = 1,798 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,265 × 10⁶ + 1,798 × 10⁷ = 2,325 × 10⁷ mm⁴

Buigspanning

De bovenrand ligt h − ȳ van de as.

y = 210 − 165 = 45 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·45/2,325 × 10⁷ = 19,36 MPa

Antwoord

σ_boven = 19,36 MPa

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = −41,44 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, −20 − −30) = −82,87°

Hoek op het element

θ_p = −41,44°

Antwoord

θ_p = −41,44°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: τ_θ = 75,88 MPa

Transformatieformule

τ_θ = −−70·0,9848 + −40·−0,1736 = 75,88 MPa

Antwoord

τ_θ = 75,88 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ = 4,211 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 15000 N, w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Elke belasting afzonderlijk

δ_P = PL³/(3EI) = 15000·2000³/(3·1,14 × 10¹³) = 3,509 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·2000⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 0,7018 mm

Tel ze op

δ = 3,509 + 0,7018 = 4,211 mm

Antwoord

δ = 4,211 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_mid = 24,16 mm

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 7000 N, b = 2500 mm, L = 8000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Doorbuiging in het midden

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 7000·2500·(3·8000² − 4·2500²)/(48·2,52 × 10¹²) = 24,16 mm

Antwoord

δ_mid = 24,16 mm

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 92,12 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Kniklengte

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/2000² = 92116 N = 92,12 kN

Antwoord

P_cr = 92,12 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 76,04 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 3·120000 = 360000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 76,04 mm

Antwoord

d = 76,04 mm

Controle: de slankheid KL/r is 157,8, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials