Sterkteleer: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Axiale spanning en rek

Normaalspanning: σ = F/A
Rek: ε = ΔL/L
Wet van Hooke: σ = E·ε
Verlenging: ΔL = FL/(EA)
Thermische rek: ε_T = α·ΔT

Torsie van assen

Schuifspanning: τ = T·r/J
Massieve as: J = πd⁴/32
Holle as: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Wringhoek: φ = TL/(GJ)
Vermogen: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bereken het polair traagheidsmoment: J = πd⁴/32 voor een massieve as.
Schuifspanning aan het oppervlak: τ = T·r/J, met r de buitenstraal.
Wringhoek: φ = TL/(GJ) in radialen.
Als het vermogen gegeven is, bereken dan eerst het koppel met P = T·ω, ω = 2πn/60.

Dwarskracht en buigend moment

Dwarskracht en moment: V = ΣF aan één kant, M = ΣF·d aan één kant
Buigspanning: σ = M·y/I
Rechthoek: I = bh³/12
Weerstandsmoment: W = I/y_max
Ligger op twee steunpunten, gelijkmatige belasting: M_max = wL²/8

Methode

Bepaal de oplegreacties uit het evenwicht van de hele balk.
Snijd de balk door in de doorsnede die je nodig hebt en houd één kant over.
Dwarskracht: de som van de verticale krachten op die kant. Buigend moment: de som van hun momenten om de snede.
Zoek voor het maximale moment de plek waar de dwarskracht nul is.

Zwaartepunt en traagheidsmoment

Zwaartepunt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechthoek: I = bh³/12
Stelling van Steiner: I = I_c + A·d²
Samengestelde doorsnede: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Middelpunt: C = (σ_x + σ_y)/2
Straal: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hoofdspanningen: σ_1,2 = C ± R
Hoofdrichting: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Schuin vlak: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Bereken het middelpunt van de cirkel van Mohr: C = (σx + σy)/2.
Bereken de straal: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
De hoofdspanningen zijn C ± R en de grootste schuifspanning in het vlak is R.
Hoeken op de cirkel zijn het dubbele van de hoeken op het element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Doorbuiging van de balk

Puntlast in het midden: δ = PL³/(48EI)
Gelijkmatige belasting, ligger op twee steunpunten: δ = 5wL⁴/(384EI)
Uitkraging, eindlast: δ = PL³/(3EI)
Uitkraging, gelijkmatige belasting: δ = wL⁴/(8EI)
Superpositie: δ = δ₁ + δ₂

Knik van kolommen

Eulerse kniklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Kniklengtefactor: K = 1 scharnierend–scharnierend, 0,5 ingeklemd–ingeklemd, 0,7 ingeklemd–scharnierend, 2 ingeklemd–vrij
Kritieke spanning: σ_cr = P_cr/A
Slankheid: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Oefenopgaven

1.Axiale spanning en rekGemiddeld

Een staaf bestaat uit een segment van staal (diameter 20 mm, lengte 500 mm, E = 200 GPa) dat kop aan kop is verbonden met een segment van brons (diameter 30 mm, lengte 300 mm, E = 110 GPa). Hij is aan één uiteinde ingeklemd en wordt aan het andere uiteinde getrokken. Bepaal de axiale belasting P die hem in totaal 0,5 mm laat uitrekken.

segment 1: staal, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegment 2: brons, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Axiale spanning en rekMoeilijk

Een segment van staal (diameter 40 mm, lengte 400 mm, E = 200 GPa) en een segment van messing (diameter 40 mm, lengte 300 mm, E = 100 GPa) zijn kop aan kop verbonden en tussen twee stijve wanden ingeklemd. Een axiale belasting van 60 kN werkt op de verbinding, in de richting van segment 2. Bepaal de grootte van de spanning σ₂ in segment 2.

segment 1: staal, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegment 2: messing, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torsie van assenGemiddeld

Een holle as moet een wringend moment van 200 N·m dragen. De binnendiameter moet 0,8 keer de buitendiameter zijn, en de schuifspanning mag niet groter zijn dan 50 MPa. Vind de kleinste buitendiameter d_o.

T = 200 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Torsie van assenMoeilijk

Een massieve as van aluminium met diameter 20 mm is ingeklemd in A. Een wringend moment van 400 N·m werkt in B, op 1 m van A, en een wringend moment van 200 N·m in tegengestelde richting werkt op het vrije uiteinde C, nog 0,5 m verder. Vind de grootte van de wringhoek φ_C van uiteinde C, in graden.

d = 20 mmT_B = 400 N·mT_C = 200 N·mAB = 1 mBC = 0,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Dwarskracht en buigend momentGemiddeld

Vind het buigend moment M_x in de doorsnede x = 2,5 m vanaf oplegging A. Neem doorbuigende (sagging) momenten positief en een opwaartse dwarskracht op het linkervlak positief.

L = 8 mw = 6 kN/m van 0 tot 8 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Dwarskracht en buigend momentMoeilijk

De balk ligt op een scharnier in A en een rol in B en steekt 1,5 m voorbij B uit tot het vrije uiteinde C. Over de hele lengte A–C werkt een gelijkmatig verdeelde belasting w. Vind het maximale doorbuigende (sagging) moment M_max tussen de opleggingen.

L = 6,5 mw = 6 kN/m van 0 tot 6,5 mopleggingen bij x = 0 en x = 5 m

M_max = kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmomentGemiddeld

Vind het traagheidsmoment I_x van het T-profiel om de horizontale as x door het zwaartepunt.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmomentMoeilijk

Een plaat van 100 mm × 300 mm heeft een rechthoekige uitsparing van 40 mm breed en 30 mm hoog, gecentreerd op de verticale hartlijn met zijn middelpunt 90 mm boven de onderkant. Bepaal het kwadratisch oppervlaktemoment I_x om de horizontale as door het zwaartepunt.

b = 100 mmh = 300 mmuitsparing: 40 × 30 mmmiddelpunt van het gat: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieGemiddeld

Een punt in een belast onderdeel heeft σₓ = 0 MPa, σᵧ = −10 MPa en τₓᵧ = 30 MPa (trek positief). Bereken de hoek θ_p van de x-as naar de richting van de grootste hoofdspanning, tussen −90° en 90°.

σ_x = 0 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatieMoeilijk

Een dunwandige cilindrische tank met binnendiameter 800 mm en wanddikte 12 mm bevat gas met een overdruk van 1 MPa. Hij is gemaakt van plaat die gelast is langs een spiraalvormige naad onder 50° met de as van de cilinder. Vind de normaalspanning σ_n die dwars op de lasnaad werkt.

D = 800 mmt = 12 mmp = 1 MPaα = 50°

σ_n = MPa

11.Doorbuiging van de balkGemiddeld

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w over de hele overspanning. Vind de maximale doorbuiging δ_max, in het midden.

w = 4 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (staal)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Doorbuiging van de balkMoeilijk

Een vrij opgelegde balk draagt een gelijkmatig verdeelde belasting w. De doorbuiging mag niet groter zijn dan overspanning/360. Vind het kleinste traagheidsmoment I_req dat aan deze eis voldoet.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommenGemiddeld

Een kolom met lengte L van aluminium is onderaan ingeklemd en bovenaan vrij. Vind met de formule van Euler de kritieke knikbelasting P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.Knik van kolommenMoeilijk

Een massieve ronde kolom met lengte L van aluminium is aan beide uiteinden scharnierend. Hij moet 5 kN dragen met een veiligheidsfactor van 2 tegen knik. Vind de kleinste diameter d.

P = 5 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Oplossingen

1.Axiale spanning en rek

Antwoord: P = 42,32 kN

Twee materialen: bij serie (na elkaar) draagt elk segment dezelfde kracht en de verlengingen tellen op: δ = P·Σ L/(E·A). Bij parallel (naast elkaar tussen stijve platen) worden beide delen evenveel korter, dus hun rekken zijn gelijk: het stijvere deel neemt het grotere aandeel op, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, en σ_i = E_i·ε. Een staaf die tussen twee stijve wanden is ingeklemd met een belasting op de overgang is statisch onbepaald: de twee segmenten delen de belasting naar verhouding van hun stijfheid k = EA/L.

Oppervlakken

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Soepelheden

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·706,9) = 3,858 × 10⁻⁶ mm/N

Belasting

P = 0,5/1,182 × 10⁻⁵ = 42315 N = 42,32 kN

Antwoord

P = 42,32 kN

2.Axiale spanning en rek

Antwoord: σ₂ = 19,1 MPa

Stijfheden

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 100000·1257/300 = 418879 N/mm

Aandeel van segment 2

F₂ = 60000·418879/1,047 × 10⁶ = 24000 N

Spanning

σ₂ = 24000/1257 = 19,1 MPa (druk)

Antwoord

σ₂ = 19,1 MPa

3.Torsie van assen

Antwoord: d_o = 32,56 mm

Torsie van ronde assen: de schuifspanning neemt lineair toe van nul in het midden tot τ_max = T·r/J aan het oppervlak, met J = πd⁴/32 voor een massieve as en J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 voor een holle. De wringhoek is φ = TL/(GJ) in radialen. Vermogen en koppel hangen samen via P = T·ω.

Buitendiameter uit de toelaatbare spanning

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·50·0,5904)) = 32,56 mm

d_i = 0,8·32,56 = 26,04 mm

Antwoord

d_o = 32,56 mm

Een massieve as zou d = 27,31 mm nodig hebben; de holle is iets groter maar veel lichter.

4.Torsie van assen

Antwoord: φ_C = 14,03 °

Inwendige wringende momenten

Draaizin van T_C positief genomen.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 400 = −200 N·m

Wringhoek van elk deel

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = −200000·1000/(26000·15708) = −0,4897 rad

φ_BC = 200000·500/(26000·15708) = 0,2449 rad

Wringhoek van uiteinde C

φ_C = −0,4897 + 0,2449 = −0,2449 rad → |φ_C| = 14,03°

Antwoord

φ_C = 14,03°

5.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_x = 41,25 kN·m

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, aangrijpend op x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·8·4

R_B = 192/8 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Snijd bij x = 2,5 m en houd het linkerdeel over

Alleen krachten links van de snede tellen mee. Een stuk verdeelde belasting werkt als één kracht in het midden van dat stuk.

M = R_A·x − (elke belasting links van de snede × de afstand tot de snede)

M_x = 24·2,5 − 6·2,5·1,25 = 41,25 kN·m

Antwoord

M_x = 41,25 kN·m

6.Dwarskracht en buigend moment

Antwoord: M_max = 15,53 kN·m

Snedemethode: snijd de balk door waar je de inwendige krachten wilt weten en houd één kant over. De dwarskracht V houdt de verticale krachten op die kant in evenwicht, en het buigend moment M hun momenten om de snede. Maximaal moment: omdat dM/dx = V, bereikt het buigend moment zijn piek waar de dwarskracht door nul gaat, bij een puntlast of binnen een verdeelde belasting.

Oplegreacties

Evenwicht van de hele balk, inclusief de belasting op het overstek.

Resultante van de verdeelde belasting: W = w·ℓ = 6·6,5 = 39 kN, aangrijpend op x̄ = 3,25 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·6,5·3,25

R_B = 126,8/5 = 25,35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 25,35 = 13,65 kN

Dwarskracht nul

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 13,65/6 = 2,275 m

Maximaal doorbuigend moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 13,65²/(2·6) = 15,53 kN·m

Antwoord

M_max = 15,53 kN·m

7.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 41,37 × 10⁶ mm⁴

Samengestelde doorsneden: verdeel de doorsnede in rechthoeken. Het zwaartepunt is het oppervlaktegewogen gemiddelde ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Het traagheidsmoment om de zwaartepuntsas telt voor elk deel de eigen bh³/12 en de Steinerterm A·d² op, waarbij d de afstand is van het zwaartepunt van het deel tot het totale zwaartepunt. De buigspanning is σ = M·y/I.

Verdeel in twee rechthoeken

Meet elke y vanaf de onderrand.

flens: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

lijf: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Zwaartepunt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·235 + 2640·110)/9840 = 201,5 mm

Stelling van Steiner

flens: 240·30³/12 + 7200·(235 − 201,5)² = 8,638 × 10⁶ mm⁴

lijf: 12·220³/12 + 2640·(110 − 201,5)² = 3,273 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,638 × 10⁶ + 3,273 × 10⁷ = 4,137 × 10⁷ mm⁴ = 41,37 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 41,37 × 10⁶ mm⁴

8.Zwaartepunt en traagheidsmoment

Antwoord: I_x = 220,4 × 10⁶ mm⁴

Doorsneden met gaten: behandel een gat als een negatief oppervlak. Het zwaartepunt is ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), met A₁, y₁ voor de volle plaat en A₂, y₂ voor het gat. Gebruik voor het kwadratisch oppervlaktemoment om de zwaartelijn de stelling van Steiner voor elk deel en trek het gat af: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), waarbij d de afstand is van het eigen zwaartepunt van elk deel tot de as door ȳ. Een rechthoek heeft I_c = bh³/12 en een cirkel I_c = πd⁴/64.

Zwaartepunt

ȳ = (30000·150 − 1200·90)/(30000 − 1200) = 152,5 mm

Volle plaat om ȳ

100·300³/12 + 30000·−2,5² = 225,2 × 10⁶ mm⁴

Gat om ȳ

40·30³/12 + 1200·−62,5² = 4,777 × 10⁶ mm⁴

Trek af

I_x = 220,4 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_x = 220,4 × 10⁶ mm⁴

9.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: θ_p = 40,27 °

Transformatie van een vlakke spanningstoestand: op een vlak dat over θ gedraaid is, geldt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. De cirkel van Mohr toont alle vlakken tegelijk: het middelpunt ligt bij C = (σₓ + σᵧ)/2 en de straal is R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). De hoofdspanningen zijn C ± R, en de grootste schuifspanning in het vlak is R.

Hoek op de cirkel

Punt x ligt op de cirkel van Mohr onder een hoek 2θp vanaf de σ-as; het kwadrant volgt uit de tekens van σₓ − σᵧ en τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 0 − −10) = 80,54°

Hoek op het element

θ_p = 40,27°

Antwoord

θ_p = 40,27°

Positieve hoeken zijn tegen de klok in.

10.Cirkel van Mohr en spanningstransformatie

Antwoord: σ_n = 23,55 MPa

Spanningen in de wand

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 1·400/12 = 33,33 MPa

σ_a = pr/(2t) = 16,67 MPa

Transformeer naar de naad

Neem x langs de as (σ_a) en y in omtreksrichting (σ_h). De normaal van de naad maakt 90° − α met de as.

σ_n = 16,67·sin²50° + 33,33·cos²50° = 23,55 MPa

Antwoord

σ_n = 23,55 MPa

11.Doorbuiging van de balk

Antwoord: δ_max = 8,889 mm

Doorbuiging van balken: doorbuigingen volgen uit het twee keer integreren van de kromming M/(EI). Standaardgevallen staan in tabellen, bijvoorbeeld PL³/(3EI) voor een uitkragende ligger met een eindlast en 5wL⁴/(384EI) voor een vrij opgelegde balk onder een volledige gelijkmatige belasting. Doorbuigingen door afzonderlijke belastingen tellen op (superpositie).

Consistente eenheden

Werk in N en mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Doorbuiging

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·8000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 8,889 mm

Antwoord

δ_max = 8,889 mm

12.Doorbuiging van de balk

Antwoord: I_req = 2,679 × 10⁶ mm⁴

Doorbuigingseis

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Benodigd traagheidsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·2000⁴/(384·70000·5,556) = 2,679 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2,679 × 10⁶ mm⁴

Antwoord

I_req = 2,679 × 10⁶ mm⁴

13.Knik van kolommen

Antwoord: P_cr = 107,9 kN

Knik volgens Euler: een slanke kolom wordt instabiel bij P_cr = π²EI/(KL)², waarbij KL de kniklengte is: K = 1 voor scharnier–scharnier, 2 voor ingeklemd–vrij, 0,7 voor ingeklemd–scharnier en 0,5 voor ingeklemd–ingeklemd. De kolom knikt om de as met de kleinste I. De formule geldt voor slanke kolommen, waarvan de kritieke spanning onder de vloeigrens blijft.

Kleinste traagheidsmoment

Een rechthoek knikt om zijn zwakke as, met de kleinste afmeting tot de derde macht.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Kniklengte

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritieke belasting

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/2000² = 107949 N = 107,9 kN

Antwoord

P_cr = 107,9 kN

14.Knik van kolommen

Antwoord: d = 36,84 mm

Benodigde kritieke belasting

P_cr = n·P = 2·5000 = 10000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Los op naar de diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·10000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 36,84 mm

Antwoord

d = 36,84 mm

Controle: de slankheid KL/r is 271,4, dus de kolom is slank en Euler geldt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials