Controleer voor een nulpunt de tekenwisseling bij bisectie, of bereken f en f′ voor Newton, en houd zes of meer cijfers aan in een tabel van iteraties.
Interpoleer voor een tabelwaarde lineair tussen de twee naburige punten.
Bepaal voor een integraal h = (b − a)/n, noteer f in elk knooppunt, pas de gewichten toe (1, 2, …, 2, 1 voor trapezium; 1, 4, 2, …, 4, 1 voor Simpson met even n) en vermenigvuldig met h/2 of h/3.
Zet voor een DV stappen vanaf t₀ met yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) of met de gemiddelde helling (Heun), één rij per stap, tot je de gevraagde t bereikt.
Rijen & reeksen
Rekenkundige rij
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Meetkundige rij
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Oneindige meetkundige reeks
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-reeks
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotiëntcriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Convergentiestraal
R = lim |ck/ck+1|
Taylorpolynoom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurinreeks
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange-foutgrens
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Methode
Bepaal het type: rekenkundig (constant verschil), meetkundig (constante reden), een standaardreeks, een machtreeks of een Taylorpolynoom.
Gebruik voor sommen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), of S = a₁/(1 − r) als |r| < 1, met a₁ de eerste term van de som.
Gebruik voor convergentie eerst de test op de n-de term, vergelijk dan met Σ1/kᵖ of een meetkundige reeks, en gebruik het quotiënt- of wortelcriterium bij faculteiten en k-de machten.
Noteer voor Taylorpolynomen f(a), f′(a), f″(a), …, deel de k-de afgeleide door k!, en begrens de fout met M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrices & determinanten
2×2-determinant
det = ad − bc
Inverse van een 2×2-matrix
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Product
(AB)ij = Σk AikBkj
Eigenwaarden
det(A − λI) = 0
Regel van Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Differentiaalvergelijkingen
Exponentiële groei/afname
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halveringstijd
k = ln 2 / t½
Afkoelingswet van Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrerende factor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mengtank
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Oefenopgaven
1.Numerieke methodenGemiddeld
Benader ∫13 1/x dx met de trapeziumregel, n = 4, en vergelijk met de exacte waarde. Bepaal de absolute fout |E| = |T − I|.
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]n = 4
|E| =
2.Numerieke methodenMoeilijk
Los y′ = −2ty, y(0) = 3 op met de methode van Euler en stap h = 0,1 tot t = 0,5. De exacte oplossing is y = y₀e−t². Bepaal de globale fout |E| = |y(0,5) − y5|.
y′ = −2tyy(0) = 3h = 0,1
|E| =
3.Rijen & reeksenGemiddeld
Pas het quotiëntcriterium toe op Σk=1∞ k³·4ᵏ/3ᵏ. Bepaal L = lim |ak+1/ak|.
ak = k³·4ᵏ/3ᵏ
L =
4.Rijen & reeksenMoeilijk
f(x) = ln(1 + x) wordt benaderd door zijn Maclaurinpolynoom van graad 3 in x = 0,3. Gebruik de Lagrange-foutgrens M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! met M = 3! = 6 om de grootst mogelijke fout |R₃| te vinden.
f(x) = ln(1 + x)n = 3x = 0,3M = 6
|R₃| =
5.Matrices & determinantenGemiddeld
Bereken de determinant det A van de getoonde 3×3-matrix A.
A = [−4 −3 0; −4 0 −4; 2 1 0]
det A =
6.Matrices & determinantenMoeilijk
Bereken de grootste eigenwaarde λ van de getoonde matrix A.
A = [0 −2; −9 3]
λ =
7.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld
Een gesmeed stalen onderdeel van 480 °C koelt af in een werkplaats van 21 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bereken met k = 0,01 min⁻¹ de temperatuur T na 35 min.
T0 = 480 °CTa = 21 °Ck = 0,01 min⁻¹t = 35 min
T = °C
8.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk
Een tank bevat 400 L water waarin 10 kg zout is opgelost. Pekel met 0,1 kg zout per liter stroomt in met 20 L/min, en de goed gemengde oplossing stroomt met dezelfde snelheid uit. Hoeveel zout m zit er na 35 min in de tank?
V = 400 Lm0 = 10 kgc = 0,1 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
3Oplossingen
1.Numerieke methoden
Antwoord: |E| = 0,01805
Numerieke integratie: verdeel [a, b] in n stroken van breedte h = (b − a)/n met knooppunten x₀ … xₙ. Trapeziumregel: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regel van Simpson (n even): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. De fout van de trapeziumregel neemt af als h² (grens (b − a)h²·M/12 met M = max|f″|), die van Simpson als h⁴, dus Simpson is voor dezelfde knooppunten meestal veel nauwkeuriger.
Numerieke oplossing van y′ = f(t, y): de methode van Euler stapt langs de helling aan het begin van elke stap: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). De methode van Heun (verbeterde Euler) middelt de helling aan het begin en bij een Euler-voorspelling: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). De klassieke Runge–Kutta-methode (RK4) combineert vier hellingen: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). De globale fout van Euler is evenredig met h, die van Heun met h², die van RK4 met h⁴.
Euler-stappen
y5 = 2,440812
Exacte waarde
y(0,5) = 2,336402
Globale fout
|E| = |2,336402 − 2,440812| = 0,1044
Grafiek
Antwoord
|E| = 0,1044
Als je h halveert, halveert de fout van de methode van Euler ongeveer.
3.Rijen & reeksen
Antwoord: L = 1,333
Convergentie: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks (test op de n-de term). Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1, en Σrᵏ alleen voor |r| < 1. Vergelijk een reeks met een van deze als haar termen voor grote k zich zo gedragen. Quotiëntcriterium: L = lim |ak+1/ak|; wortelcriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 beslist niets. Een machtreeks Σck(x − x₀)ᵏ convergeert voor |x − x₀| < R met R = lim |ck/ck+1|; een alternerende reeks met termen die naar 0 afnemen convergeert.
Verhouding van opeenvolgende termen
|ak+1/ak| = ((k + 1)/k)³·4/3 → 4/3
Conclusie
L = 1,333 > 1
Antwoord
L = 1,333
L > 1, dus de reeks divergeert.
4.Rijen & reeksen
Antwoord: |R₃| = 0,002025
Taylorpolynomen: nabij x = a wordt een gladde functie benaderd door Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; voor a = 0 is dit het Maclaurinpolynoom. Standaardreeksen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange-foutgrens: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, waarbij M de grootste waarde van |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tussen a en x is.
Grens op de afgeleide
M = 3! = 6
Lagrange-grens
|R₃| ≤ 6·0,3⁴/4! = 0,002025
Antwoord
|R₃| = 0,002025
De werkelijke fout is kleiner: |f(0,3) − P₃(0,3)| = 0,001636.
5.Matrices & determinanten
Antwoord: det A = 8
Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.
2×2-minoren van de eerste rij
M₁₁ = 4, M₁₂ = 8, M₁₃ = −4
Cofactorontwikkeling
det A = (−4)·4 − (−3)·8 + 0·(−4) = 8
Antwoord
det A = 8
6.Matrices & determinanten
Antwoord: λ = 6
Matrices: de determinant van een 2×2-matrix is ad − bc. Bij 3×3 ontwikkel je naar een rij: elk element maal de determinant van de 2×2-matrix die overblijft na het schrappen van zijn rij en kolom, met afwisselende tekens + − +. Eigenwaarden λ voldoen aan det(A − λI) = 0; bij 2×2 is dat λ² − (spoor)·λ + det = 0.
Karakteristieke vergelijking
λ² − (3)λ + (−18) = 0
Oplossen
λ = (3 ± √(81))/2 → λ = −3, 6
λ = 6
Antwoord
λ = 6
7.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: T = 344,5 °C
Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.
Oplossing van de afkoelingswet
T(t) = 21 + 459·e−0,01t
Vul t in
T(35) = 21 + 459·0,7047 = 344,5 °C
Antwoord
T = 344,5 °C
8.Differentiaalvergelijkingen
Antwoord: m = 34,79 kg
Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.
Stel de vergelijking op
dm/dt = 20·0,1 − (20/400)·m = 2 − 0,05·m
Oplossen
De integrerende factor is ert/V; de oplossing nadert het evenwicht c·V.